已知连续型随机变量X的概率密度函数，推导随机变量Y=g(X)的概率密度函数
已知随机变量X的概率密度函数 p X p_X pX，推导随机变量Y=g(X)的概率密度函数 p Y p_Y pY
我们仅考虑函数g为单调增函数的情况，其为单调减函数的情况同理可得：
设X的分布函数为：
F X ( x ) = ∫ 0 x p X d x F_X(x)=\int_0^x{p_X}dx FX(x)=∫0xpXdx
我们有：
F X ( x ) = P ( X ≤ x ) 因为 g 为单调增函数 所以 X ≤ x ⇔ Y ≤ g ( x ) 所以 F X ( x ) = P ( Y ≤ g ( x ) ) = F Y ( g ( x ) ) 作变量代换， y = g ( x ) ，则 x = g − 1 ( y ) 有 F X ( g − 1 ( y ) ) = F Y ( y ) 于是 p Y = d F Y ( y ) d y = d F X ( g − 1 ( y ) ) d g − 1 ( y ) ∗ d g − 1 ( y ) d y = p X ( g − 1 ( y ) ) ∗ ( g − 1 ( y ) ) ′ F_X(x)=P(X\le x)\\ 因为g为单调增函数\\ 所以X\le x \Leftrightarrow Y\le g(x) \\ 所以F_X(x)=P(Y\le g(x))=F_Y(g(x))\\ 作变量代换，y=g(x)，则x=g^{-1}(y)\\ 有F_X(g^{-1}(y))=F_Y(y)\\ 于是p_Y=\frac{dF_Y(y)}{dy}=\frac{dF_X(g^{-1}(y))}{dg^{-1}(y)}*\frac{dg^{-1}(y)}{dy}\\ =p_X(g^{-1}(y))*(g^{-1}(y))' FX(x)=P(X≤x)因为g为单调增函数所以X≤x⇔Y≤g(x)所以FX(x)=P(Y≤g(x))=FY(g(x))作变量代换，y=g(x)，则x=g−1(y)有FX(g−1(y))=FY(y)于是pY=dydFY(y)=dg−1(y)dFX(g−1(y))∗dydg−1(y)=pX(g−1(y))∗(g−1(y))′
因此我们有：
- 当g为单调增函数时， p Y = p X ( g − 1 ( y ) ) ∗ ( g − 1 ( y ) ) p_Y=p_X(g^{-1}(y))*(g^{-1}(y)) pY=pX(g−1(y))∗(g−1(y))
- 当g为单调减函数时， p Y = − p X ( g − 1 ( y ) ) ∗ ( g − 1 ( y ) ) p_Y=-p_X(g^{-1}(y))*(g^{-1}(y)) pY=−pX(g−1(y))∗(g−1(y))
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