随机变量取值与其数学期望的偏离程度——方差
方差的定义
设随机变量 X X X的数学期望 E ( X ) E(X) E(X)存在，若 E [ ( X − E ( X ) ) 2 ] E[(X-E(X))^2] E[(X−E(X))2]存在，则 E [ ( X − E ( X ) ) 2 ] E[(X-E(X))^2] E[(X−E(X))2]为随机变量 X X X的方差，记为 D ( X ) D(X) D(X)或 V a r ( X ) Var(X) Var(X)，即： D ( X ) = E [ ( X − E ( X ) ) 2 ] D(X)=E[(X-E(X))^2] D(X)=E[(X−E(X))2]称 D ( X ) \sqrt{D(X)} D(X)为随机变量 X X X的标准差或均方差，记作 σ ( X ) \sigma(X) σ(X)。
由定义可知，方差是随机变量 X X X的函数 g ( X ) = E [ ( X − E ( X ) ) 2 ] g(X)=E[(X-E(X))^2] g(X)=E[(X−E(X))2]的数学期望。故 D ( X ) = { ∑ k = 1 ∞ [ x k − E ( X ) ] 2 p k , 当 X 为离散时 ∫ − ∞ + ∞ [ x − E ( X ) ] 2 f ( x ) d x , 当 X 为连续时 D(X) = \begin{cases} \sum_{k=1}^{\infty}[x_k-E(X)]^2p_k, & \text{当$X$为离散时} \\ \int_{-\infty}^{+\infty}[x-E(X)]^2f(x)dx, & \text{当$X$为连续时} \end{cases} D(X)={∑k=1∞[xk−E(X)]2pk,∫−∞+∞[x−E(X)]2f(x)dx,当X为离散时当X为连续时实际计算中，我们常常用如下公式计算方差： D ( X ) = E ( X 2 ) − [ E ( X ) ] 2 D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2 D(X)=E(X2)−[E(X)]2
方差的性质
- 设 c c c为常数，则 D ( c ) = 0 D(c)=0 D(c)=0
- 设 c c c为常数，则 D ( c X ) = c 2 D ( X ) D(cX)=c^2D(X) D(cX)=c2D(X)
- D ( X ± Y ) = D ( X ) + D ( Y ) ± 2 E { [ X − E ( X ) ] [ Y − E ( Y ) ] } D(X\pm Y)=D(X)+D(Y)\pm 2E\{[X-E(X)][Y-E(Y)]\} D(X±Y)=D(X)+D(Y)±2E{[X−E(X)][Y−E(Y)]}
- 若 X X X与 Y Y Y相互独立，有 D ( X ± Y ) = D ( X ) + D ( Y ) D(X\pm Y)=D(X)+D(Y) D(X±Y)=D(X)+D(Y)
- 对任意常数 c ≠ E ( X ) c \neq E(X) c̸=E(X)，则 D ( X ) = E [ ( X − E ( X ) ) 2 ] < E [ ( X − c ) 2 ] D(X)=E[(X-E(X))^2]<E[(X-c)^2] D(X)=E[(X−E(X))2]<E[(X−c)2]
常用分布的方差
| 分布函数 | 分布律或概率密度函数 | 数学期望 | 方差 |
|---|---|---|---|
| 两点分布 X ∼ B ( 1 , p ) X\sim B(1,p) X∼B(1,p) | P { X = x } = p x ( 1 − p ) 1 − x P\{X=x\}=p^x(1-p)^{1-x} P{X=x}=px(1−p)1−x ( x = 0 , 1 ) (x=0,1) (x=0,1) | p p p | p ( 1 − p ) p(1-p) p(1−p) |
| 二项分布 X ∼ B ( n , p ) X\sim B(n,p) X∼B(n,p) | P { X = x } = C n x p x q n − x P\{X=x\}=C_{n}^{x}p^xq^{n-x} P{X=x}=Cnxpxqn−x ( x = 0 , 1 , 2 , . . . , n ； q = 1 − p ) (x=0,1,2,...,n；q=1-p) (x=0,1,2,...,n；q=1−p) | n p np np | n p ( 1 − p ) np(1-p) np(1−p) |
| 泊松分布 X ∼ P ( λ ) / π ( λ ) X\sim P(\lambda)/\pi(\lambda) X∼P(λ)/π(λ) | P { X = x } = λ x x ! e − λ P\{X=x\}=\frac{\lambda^x}{x!}e^{-\lambda} P{X=x}=x!λxe−λ ( k = 0 , 1 , 2 , . . . ； λ > 0 ) (k=0,1,2,...；\lambda > 0) (k=0,1,2,...；λ>0) | λ \lambda λ | λ \lambda λ |
| 均匀分布 X ∼ U [ a , b ] X\sim U[a,b] X∼U[a,b] | f ( n ) = { 1 b − a ， a ⩽ x ⩽ b 0 ， o t h e r w i s e f(n) =\begin{cases}\frac{1}{b-a}， a\leqslant x\leqslant b \\0，otherwise\end{cases} f(n)={b−a1，a⩽x⩽b0，otherwise | a + b 2 \frac{a+b}{2} 2a+b | ( b − a ) 2 12 \frac{(b-a)^2}{12} 12(b−a)2 |
| 指数分布 X ∼ E ( λ ) X\sim E(\lambda) X∼E(λ) | f ( n ) = { λ e − λ x ， x ⩾ 0 0 ， o t h e r w i s e f(n) =\begin{cases}\lambda e^{-\lambda x}， x\geqslant 0 \\0，otherwise\end{cases} f(n)={λe−λx，x⩾00，otherwise ( λ > 0 ) (\lambda > 0) (λ>0) | λ − 1 \lambda^{-1} λ−1 | λ − 2 \lambda^{-2} λ−2 |
| 正态分布 X ∼ N ( μ , σ 2 ) X\sim N(\mu, \sigma^2) X∼N(μ,σ2) | f ( x ) = 1 2 π σ e − ( x − μ ) 2 2 σ 2 f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi} \sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} f(x)=2πσ1e−2σ2(x−μ)2 ( − ∞ < x < + ∞ ) (-\infty < x < +\infty) (−∞<x<+∞) | μ \mu μ | σ 2 \sigma^2 σ2 |
本文来自互联网用户投稿，文章观点仅代表作者本人，不代表本站立场，不承担相关法律责任。如若转载，请注明出处。 如若内容造成侵权/违法违规/事实不符，请点击【内容举报】进行投诉反馈！