∫xf(sinx)dx=(π/2)∫f(sinx)dx（在0~π的定积分）及其推广

2023-10-15 08:18:55

一、形如∫xf(sinx)dx在0~π的定积分，如何求？

二、k为整数时的推广

三、总结

一、形如∫xf(sinx)dx在0~π的定积分，如何求？

我们有以下公式

$\int_{0}^{\pi }xf(sinx)dx=\frac{\pi}{2}\int_{0}^{\pi}f(sinx)dx$

推导：

$\int_{0}^{\pi }xf(sinx)dx\overset{x=\pi -t}{\rightarrow}\int_{\pi }^{0}(\pi -t)f(sin(\pi -t))(-dt)$

$=\int_{0}^{\pi }(\pi -t)f(sint)dt=\pi \int_{0}^{\pi }f(sint)dt-\int_{0}^{\pi }tf(sint)dt$

将上面的 $-\int_{0}^{\pi }tf(sint)dt$ 移到左边去，由于积分与符号无关

则 $2\int_{0}^{\pi }xf(sinx)dx=\pi \int_{0}^{\pi }f(sinx)dx$

$\int_{0}^{\pi }xf(sinx)dx=\frac{\pi }{2}\int_{0}^{\pi }f(sinx)dx$

二、k为整数时的推广

$\int_{k\pi -\pi }^{k\pi }xf(sinx)dx\overset{x=2k\pi -\pi-t}{\rightarrow}\int_{k\pi }^{k\pi -\pi }(2k\pi -\pi -t)f(sin(2k\pi -\pi -t))(-dt)$

$=\int_{k\pi-\pi }^{k\pi}(2k\pi -\pi-t )f(sin(2k\pi -\pi -t))dt$

$=(2k\pi -\pi )\int_{k\pi-\pi }^{k\pi}f(sin(2k\pi -\pi -t))dt-\int_{k\pi-\pi }^{k\pi}tf(sin(2k\pi -\pi -t))dt$ 由诱导公式得

$=(2k\pi -\pi )\int_{k\pi-\pi }^{k\pi}f(sint)dt-\int_{k\pi-\pi }^{k\pi}tf(sint)dt$

将上面的 $-\int_{k\pi-\pi }^{k\pi}tf(sint)dt$ 移到左边去，由于积分与符号无关，得到

$2\int_{k\pi-\pi }^{k\pi}xf(sinx)dx=(2k\pi -\pi )\int_{k\pi-\pi }^{k\pi}f(sinx)dx$

所以有 $\int_{k\pi-\pi }^{k\pi}xf(sinx)dx=\frac{(2k-1)\pi }{2}\int_{k\pi-\pi }^{k\pi}f(sinx)dx$

三、总结

$\int_{0}^{\pi }xf(sinx)dx=\frac{\pi}{2}\int_{0}^{\pi}f(sinx)dx$

$\int_{k\pi-\pi }^{k\pi}xf(sinx)dx=\frac{(2k-1)\pi }{2}\int_{k\pi-\pi }^{k\pi}f(sinx)dx,(k\in Z)$

本文来自互联网用户投稿，文章观点仅代表作者本人，不代表本站立场，不承担相关法律责任。如若转载，请注明出处。 如若内容造成侵权/违法违规/事实不符，请点击【内容举报】进行投诉反馈！

标签：技术

上一篇 > 计算机考研专题数学之不定积分入门篇（1）
下一篇 > 最大子列和（在线处理算法）

Duilib中list控件支持ctrl和shif多行选中的实现

[ICML2015]Batch Normalization:Accelerating Deep Network Training by Reducing Internal Covariate Shif

win10系统微软输入法于eclipse ctrl+shif+f冲突间接处理办法

Codeforces Round #259 (Div. 2) B. Little Pony and Sort by Shif

读LDD3，内存映射与DMA--PAGE_SHIF…

VMware虚拟机安装XP【要先分区，再设置BOOT 启动CD，shif+上移】

更换iBus五笔的左与右Shif

sublime ctrl+shif+f 没用解决办法

idea 对 ctrl + z 的撤销是 ctrl + shif + z

计算机最早的设计师应用于,计算机应用基础选择题doc.doc

win10自带截图神器：Win+Shift+S

Python基础之文件目录操作

python简述目录_Python基础之文件目录操作(示例代码)

tp5 如何做数据采集

任务2-7(服务器字体+阿里巴巴矢量库)

html标签（1)：h1~h6,p,br,pre,hr

TI 电量计介绍与芯片选型指南

几款TI电源芯片简介

TI DSP芯片C2000系列读取FLASH数据

德州仪器(Ti)平台嵌入式开发基础

TI三相电机智能栅极驱动芯片特点分类

省选模拟（12.08） T3 圈圈圈圈圈圈圈圈

Hadoop生态圈技术栈（上）

大数据开发基础入门与项目实战（三）Hadoop核心及生态圈技术栈之6.Impala交互式查询

小猿圈之Linux下Mysql 操作命令

大数据Hadoop生态圈常用面试题

大数据开发基础入门与项目实战（三）Hadoop核心及生态圈技术栈之4.Hive DDL、DQL和数据操作

备战Noip2018模拟赛11（B组）T3 Monogatari 物语

【智能优化算法-圆圈搜索算法】基于圆圈搜索算法Circle Search Algorithm求解单目标优化问题附matlab代码

NYOJ 78 圈水池

递归问题跑道汽车绕圈问题 Python实现

Hadoop生态圈（三）：MapReduce

∫xf(sinx)dx=(π/2)∫f(sinx)dx（在0~π的定积分）及其推广

一、形如∫xf(sinx)dx在0~π的定积分，如何求？

二、k为整数时的 推广

三、总结

相关文章

二、k为整数时的推广