一元积分学

内容摘要

1. 广义定积分 ∫ a b f ( x ) d x : \int_a^bf(x)dx: ∫ab​f(x)dx:表示函数$f(x)$在$[a,b]$上的面积值(可正可负)$,$只要这个值是某个确定的数$A$$,$则认为广义定积分存在
   其中$b=\infty$或$a=\infty$或$f(b)=\infty$或$f(a)=\infty$ 都是可以的
   广义定积分包括 黎曼积分 $($定积分$)$和 反常积分
2. 先指明区间$I=[a,b]$（之后默认使用该区间），再谈原函数和不定积分
3. 变限积分是函数。 F ( x ) = ∫ a x f ( t ) d t F(x)=\int_a^xf(t)dt F(x)=∫ax​f(t)dt在$x=a$处的值就是广义定积分 ∫ a b f ( x ) d x , \int_a^bf(x)dx, ∫ab​f(x)dx,
   主要注意的是: 变限积分$F(x)$未必是原函数$,$只有在$f(x)$的原函数存在的前提下$,F(x)$是$f(x)$的一个原函数

注: 后面指的定积分均指平时所说的黎曼积分

原函数与不定积分

对于指定的区间$I,$ 如果在区间内任意一点都满足 F ′ ( x ) = f ( x ) , F'(x) = f(x), F′(x)=f(x), 则称$F(x)$为$f(x)$的原函数$,$ 称$\int f(x)dx=F(x)+C$为$f(x)$在区间$I$上的不定积分

谈到原函数和不定积分,必须指定$f(x)$所定义的区间

根据导函数介值定理(达布定理)

某个函数求导后得到的导函数只有两种可能: 连续或者含有震荡间断点.换句话说$,$ 如果一个函数不属于这两种情况$,$ 则这个函数不可能是某个函数的导数$,$ 即原函数存在定理:存在跳跃间断点或可去间断点或无穷间断点的函数f(x)的原函数F(x)不存在

定积分就是个数

广义定积分存在—定积分存在定理和反常积分收敛

在介绍定积分和反常积分的存在和收敛之前$,$ 先以分段函数来引出如何研究连续和间断$:$

对于分段函数 F ( x ) = { f ( x ) , x ∈ [ a , c ) y , x = c g ( x ) , x ∈ ( c , b ] , F(x) = \begin{cases}f(x)&,x\in[a,c)\\y&,x=c\\g(x)&,x\in(c,b]\end{cases}, F(x)=⎩⎪⎨⎪⎧​f(x)yg(x)​,x∈[a,c),x=c,x∈(c,b]​,对于$f(x),g(x)$在各自的区间内都是连续的.

想要研究$F(x)$在区间$[a,b]$的性质$,$ 可以先研究连续函数$f(x)$在$[a,c)$和$g(x)$在$(c,b]$的性质$,$ 再通过判断在$x=c$点和附近的情况对这些性质做一个分类讨论与汇总.

所以对于定积分的存在性和反常积分的敛散性研究$,$可以借鉴这种从易到难的思想$:$ 先考虑在区间上连续的情况, 再通过分段函数对分段点的讨论来间接讨论在区间上间断的情况

约定记号 f ( x ) = 1 x 2 , g ( x ) = 1 x , h ( x ) = { f ( x ) , x ∈ ( a , c ) y , x = c g ( x ) , x ∈ ( c , + ∞ ) f_(x)=\frac{1}{x^2},g(x)=\frac{1}{\sqrt x},h(x) = \begin{cases}f(x)&,x\in(a,c)\\y&,x=c\\g(x)&,x\in(c,+\infty)\end{cases} f(​x)=x21​,g(x)=x ​1​,h(x)=⎩⎪⎨⎪⎧​f(x)yg(x)​,x∈(a,c),x=c,x∈(c,+∞)​

区间 I 1 = [ 0 , 1 ) , I_1=[0,1), I1​=[0,1), 区间 I 2 = [ 1 , 2 ) , I_2=[1,2), I2​=[1,2), 区间 I 3 = [ 2 , + ∞ ) I_3=[2,+\infty) I3​=[2,+∞)

1. 考虑函数在区间上连续的情况

• 对于定积分而言$,f(x)$在区间 I 1 , I 2 , I 3 I_1,I_2,I_3 I1​,I2​,I3​内均连续$,$ 对于区间 I 2 I_2 I2​显然可积$,$ 但对于区间 I 1 I_1 I1​而言$f(0)=+\infty ,$ 对于区间 I 2 I_2 I2​而言$b=+\infty ,$ 在黎曼那个时代错误地认为有$\infty$出现,那面积就一定是$\infty$
  所以$,$黎曼对于$f(x)$在区间 I 1 I_1 I1​和区间 I 2 I_2 I2​上是否可积的问题就到此为止$,$ 直接得出结论$:$不可积$,$ 定积分不存在.
  所以通过这一步可以得到初步结论$,$ 连续函数$f(x)$ 可积 的必要条件是: 区间有限, 被积函数有界

  为了纠正这个错误$,$又不好直接说定积分之父搞错了$,$就引入一个新的东西来完善这部分$,$这个新的东西就是反常积分
  
  反常积分就是来研究是否有$\infty$存在, 面积就一定是$\infty$呢? 如果不是那是多少呢?

• 对于反常积分而言$,$它就是专门来研究定积分没有研究的那部分. 所以要接着上面对区间 I 1 I_1 I1​和 I 3 I_3 I3​的讨论
  因为连续函数必有原函数$,$ 所以对$f(x)$求原函数 F ( x ) = ∫ a x f ( t ) d t , F(x)=\int_a^xf(t)dt, F(x)=∫ax​f(t)dt, 因此 ∫ 0 1 f ( x ) d x = F ( 1 ) − F ( 0 ) \int_0^1f(x)dx=F(1)-F(0) ∫01​f(x)dx=F(1)−F(0)
  这里出现实际操作出现两个问题$:$
  1. 随便给一个连续函数$f(x),$一定能写出原函数$F(x)$来吗$?$显然$,$ 你不能$!$ 这时候就退而求其次$,$不问面积是多少而问面积是不是个定值.即反常积分的敛散性判断
  2. 如果这时候可以写出$F(x),$ 例如这道题目中的 f ( x ) = 1 x 2 ⟹ F ( x ) = − 1 x , f(x)=\frac{1}{x^2}\Longrightarrow F(x)=-\frac{1}{x}, f(x)=x21​⟹F(x)=−x1​, 但问题来了$F(0)$不存在啊$,$ 此时取极限$,$ 即 ∫ 0 1 f ( x ) d x = F ( 1 ) − lim ⁡ x → 0 + F ( x ) . \int_0^1f(x)dx=F(1)-\lim_{x \to 0^+}F(x). ∫01​f(x)dx=F(1)−limx→0+​F(x). 求出来是啥就是啥$,$ 对于区间 I 3 I_3 I3​也是一样的道理$,$ 即反常积分的计算
     所以个人认为牛顿莱布尼兹公式可以写成 ∫ a b f ( x ) d x = lim ⁡ x → b − F ( x ) − lim ⁡ x → a + F ( x ) \int_a^bf(x)dx=\lim_{x \to b^-}F(x)-\lim_{x \to a^+}F(x) ∫ab​f(x)dx=limx→b−​F(x)−limx→a+​F(x)

因此到这里就结束了关于连续函数的定积分和反常积分的讨论$,$ 接下来是对间断点进行讨论$,$ 只要构建出含有不同类型间断的分段函数就行了

2. 考虑函数在间断区间上的情况
   (由于暂时没有完全搞清楚$,$ 这里只讨论有限个间断点的情况)

   考虑函数在间断区间上的情况$,$ 也就是考虑间断点是否会对可积和反常积分收敛是否一定会造成影响. 例如原本可积的加入间断点后一定变得不可积$?$ 原本收敛的现在一定变得不收敛$?$

   1. 如果是$,$ 直接得出结论
   2. 如果不是$,$ 那它对我们正常计算过程会造成什么影响
      
      

   对于无穷间断点$,$ 定积分直接一棍子打死$:$不存在$,$不可积. 而对于反常积分而言$,$ 只要在间断点处拆成两个积分$,$那多一个无穷间断点无非就是一个反常积分拆成两个反常积分而已. 所以无穷间断点对定积分是致命的$,$ 而对于反常积分而言就是从该点处拆开得到两个反常积分$,$ 剩下你该怎么研究这两个反常积分就怎么研究$,$ 得到什么结论就有什么结论. 并没有说出现这种间断点一定会造成反常积分收敛或者发散. 它的影响就是你要想继续研究这个反常积分, 你就要在这个间断点处将其拆成两个反常积分

   除无穷间断点外$,$ 我们只需要考虑这些间断点会对定积分造成什么影响$,$ 因为对于有限个间断点的情况$,$ 我们总是可以通过区间划分将包含间断点的反常积分拆解成包含间断点的定积分和不包含间断点的反常积分.

   接着我们开始讨论跳跃间断点和可去间断点对定积分造成的影响. 它的影响也是从该点拆开其实从直观的感受上来判断$,$ 多一个可去间断点或者跳跃间断点根本不会对咱们求图形的面积造成障碍. 所以也就不会对原本的函数$H(x)$这个函数是否可积造成什么影响. 当然这是你得认为 ∫ a b f ( x ) d x = lim ⁡ x → b − F ( x ) − lim ⁡ x → a + F ( x ) \int_a^bf(x)dx=\lim_{x \to b^-}F(x)-\lim_{x \to a^+}F(x) ∫ab​f(x)dx=limx→b−​F(x)−limx→a+​F(x)而不是 ∫ a b f ( x ) d x = F ( b ) − F ( a ) \int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a) ∫ab​f(x)dx=F(b)−F(a)

   以 h ( x ) = { f ( x ) , x ∈ [ a , c ) g ( x ) , x ∈ [ c , b ] h(x) = \begin{cases}f(x)&,x\in[a,c)\\g(x)&,x\in[c,b]\end{cases} h(x)={f(x)g(x)​,x∈[a,c),x∈[c,b]​为例进行说明$,$对于$\forall x\in [a,b],$ 是否 H ( x ) = ∫ a x h ( t ) d t H(x)=\int_a^xh(t)dt H(x)=∫ax​h(t)dt都存在$,$ 可以求出 H ( x ) = { ∫ a x f ( t ) d t , x ∈ [ a , c ] ∫ a c f ( t ) d t + ∫ c x f ( t ) d t , x ∈ ( c , b ] H(x) = \begin{cases} \int_a^xf(t)dt&,x\in[a,c]\\\int_a^cf(t)dt+\int_c^xf(t)dt&,x\in(c,b] \end{cases} H(x)={∫ax​f(t)dt∫ac​f(t)dt+∫cx​f(t)dt​,x∈[a,c],x∈(c,b]​故函数$h(x)$可积

   最后是震荡间断点$:$ 这里可以逆过来思考$,$ 通过对前面不定积分的讨论$,$ 导函数只有两种可能$:$ 连续或者含有震荡间断点$,$ 也就是说含有震荡间断点的函数是有可能有原函数的.

   例如
   f ( x ) = { 2 x ∗ s i n 1 x − c o x 1 x , x ≠ 0 0 , x = 0 f(x) = \begin{cases}2x*sin\frac{1}{x}-cox\frac{1}{x}&,x \neq 0\\0&,x=0\end{cases} f(x)={2x∗sinx1​−coxx1​0​,x​=0,x=0​

   F ( x ) = { x 2 ∗ s i n 1 x , x ≠ 0 0 , x = 0 F(x) = \begin{cases}x^2*sin\frac{1}{x}&,x \neq 0\\0&,x=0\end{cases} F(x)={x2∗sinx1​0​,x​=0,x=0​
   既然原函数表达式都能够求出来$,$ 那一定是可积的. 求不出来也未必不可积. 所以含有震荡间断点也是可积的

经过上面的讨论$,$ 结论是可积的必要条件:有限有界
可积的充分条件: 最多有限个间断点以目前的水平只能直观的感觉$,$ 不能以数学语言说清楚$,$ 所以在这里直接给出结论

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