对称同态加密系统
它本质上支持许多同态加法和有限数量的同态乘法。
它包括以下三种算法：密钥生成、加密和解密。
密钥生成：这种密钥生成算法KeyGen()是一种概率多项式时间（PPT）算法。以安全参数λ为输入，KeyGen()输出两个大质数u和v，满足u>>v，并选择一个随机数s←Z∗u。对称同态加密系统的秘密密钥为SK = (s, v)。
加密：这种加密算法Enc()是一种PPT算法。以秘密密钥SK = (s, v)、明文m∈Zv、随机正整数r（|r| + |v| <|u|）和参数d（d是一个小正整数）作为输入，Enc()输出一个密文c = sd(rv + m) mod u。
解密：解密算法Dec()是一种确定性多项式时间算法。以秘密密钥SK = (s, v)、密文c∈Zu和密文度d作为输入，Dec()输出明文m = (c * s-d mod u)mod v，其中s-d是sd在Zu中的乘法逆元。
# -*- coding:utf-8 -*-
"""@project: pythonPycharm@Author：chenyu@file： 对称同态加密系统.py@date：2023/5/18 21:46@blogs: https://blog.csdn.net/chengyulinhhhh?type=blog
""""""getPrime()是一个生成指定位数的质数的函数，
random.randint()用于生成随机数，
pow()是Python自带的求幂函数，
inverse()是求乘法逆元的函数。"""
import random
from Crypto.Util.number import getPrime, inversedef KeyGen(lamb):u = getPrime(lamb)#先做除法再向下取整v = getPrime(lamb // 2)s = random.randint(1, u-1)return u, v, sdef Enc(SK, m, r, d):s, v = SKc = pow(s * (r * v + m), 1, u)return cdef Dec(SK, c, d):s, v = SKm = pow(c * inverse(s, u), 1, u) % v#m = pow(c * pow(s, -1, u), 1, u) % v 和上一行代码效果相同return m"""生成一个1024位的u和一个512位的v，然后随机生成一个s作为秘密密钥SK。接着，将明文m加密成密文c，"""
# 密钥生成
u, v, s = KeyGen(1024)
SK = (s, v)# 加密
m = 123456789
r = random.randint(1, u // v)
d = 2
c = Enc(SK, m, r, d)# 解密
m_dec = Dec(SK, c, d)print("原始明文：", m)
print("加密后的密文：", c)
print("解密后的明文：", m_dec)
原始明文： 123456789
加密后的密文： 81097790704237362333720542254189850412794167294466619929459721105680734498861739241794882757445122789689575690281494064764215082683399792402582927526676885391486123226027208734639792896827701010110045852326448823793438126421801133230679985951729994914085327142347439453554318371077000634839199188016659245020
解密后的明文： 123456789
为什么m加密后能被还原，请解释其原理：
def Enc(SK, m, r, d):
s, v = SK
c = pow(s * (r * v + m), 1, u)
return cdef Dec(SK, c, d):
s, v = SK
m = pow(c * inverse(s, u), 1, u) % v
return m在加密过程中，首先生成一个随机数r，并将明文m和r进行组合得到(r * v + m)。
然后使用私钥s对(r * v + m)进行加密，得到密文c。在解密过程中，首先使用私钥s计算出s的逆元inverse(s, u)，然后使用逆元对密文c进行解密，得到(r * v + m)。最后从(r * v + m)中提取出明文m。
inverse(s, u) 是指 s 在模 u 意义下的逆元。
也就是说，对于整数 s 和 u，如果存在一个整数 t，使得 (s * t) mod u = 1，那么 t 就是 s 在模 u 意义下的逆元。
在解密函数中，需要使用 s 的逆元来计算明文 m，因此需要先计算出 s 在模 u 意义下的逆元。在 Python 中，可以使用 pow(s, -1, u) 或 inverse(s, u) 来计算 s 在模 u 意义下的逆元。pow(s, -1, u)是什么意思
作用是计算 (s ** -1) % u，其中 ** 表示乘方运算，% 表示模运算。因为在解密函数中需要使用 s 的逆元，所以可以使用 pow(s, -1, u) 或 inverse(s, u) 来计算 s 在模 u 意义下的逆元。如果 s 在模 u 意义下没有逆元，那么 pow(s, -1, u) 会抛出 ValueError 异常
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