[从头学数学] 第111节 整式的加减 小结与复习题

剧情提要：
[机器小伟]在[工程师阿伟]的陪同下进入了筑基初期的修炼，
这次要修炼的目标是[整式的加减 小结与复习题]。

正剧开始：

星历2016年02月27日 09:35:40, 银河系厄尔斯星球中华帝国江南行省。
[工程师阿伟]正在和[机器小伟]一起继续研究整式的加减。

现在，小伟已经对上一节修炼中制造的工具进行了改良，看看能不能轻松地

完成这一次功法的修炼吧。

#题2>>> 
['-0.5a2b', '0.14m4n2', 'x2+y2-1', 'x', '3x2-y+3xy3+x4-1', '32t3', '2x-y']
单项式-0.5a2b 的系数是-0.5， 次数是3，详细是[['a', 2], ['b', 1]]。
单项式0.14m4n2 的系数是0.14， 次数是6，详细是[['m', 4], ['n', 2]]。
x2+y2-1 不是单项式。
多项式x2+y2-1 具有以下的项： ['x2', 'y2', '-1']
其中各单项分别是：
单项式x2 的系数是1， 次数是2，详细是[['x', 2]]。
单项式y2 的系数是1， 次数是2，详细是[['y', 2]]。
单项式-1 的系数是-1， 次数是0，
合并同类项后详细情况是： [[1, 2, [['x', 2]]], [1, 2, [['y', 2]]], [-1, 0, []]]
合并同类项后是:x2+y2-1单项式x 的系数是1， 次数是1，详细是[['x', 1]]。
3x2-y+3xy3+x4-1 不是单项式。
多项式3x2-y+3xy3+x4-1 具有以下的项： ['3x2', '-y', '3xy3', 'x4', '-1']
其中各单项分别是：
单项式3x2 的系数是3， 次数是2，详细是[['x', 2]]。
单项式-y 的系数是-1， 次数是1，详细是[['y', 1]]。
单项式3xy3 的系数是3， 次数是4，详细是[['x', 1], ['y', 3]]。
单项式x4 的系数是1， 次数是4，详细是[['x', 4]]。
单项式-1 的系数是-1， 次数是0，
合并同类项后详细情况是： [[3, 2, [['x', 2]]], [-1, 1, [['y', 1]]], [3, 4, [['x', 1], ['y', 3]]], [1, 4, [['x', 4]]], [-1, 0, []]]
合并同类项后是:3x2-y+3xy3+x4-1单项式32t3 的系数是32， 次数是3，详细是[['t', 3]]。
2x-y 不是单项式。
多项式2x-y 具有以下的项： ['2x', '-y']
其中各单项分别是：
单项式2x 的系数是2， 次数是1，详细是[['x', 1]]。
单项式-y 的系数是-1， 次数是1，详细是[['y', 1]]。
合并同类项后详细情况是： [[2, 1, [['x', 1]]], [-1, 1, [['y', 1]]]]
合并同类项后是:2x-ydef tmp():a = ['-1/2a2b', '1/7m4n2', 'x2+y2-1', 'x', '3x2-y+3xy3+x4-1', '32t3',\'2x-y'];size = len(a);for i in range(size):a[i] = algExpr(a[i]);print(a);for i in range(size):result = monomial(a[i]);if (len(result)==0):polynomial(a[i]);return;

这个解答可真是多啊，小伟忍不住打了个哈欠。好在结论还是比较清楚的，倒也不用费太多事。

#题3>>> 
['x2y-3x2y', '10y2+0.5y2', '-0.5a2bc+0.5cba2', '0.25mn-0.33mn+7', '7ab-3a2b2+7+8ab2+3a2b2-3-7ab', '3x3-3x2-y2+5y+x2-5y+y2']
多项式x2y-3x2y 具有以下的项： ['x2y', '-3x2y']
其中各单项分别是：
单项式x2y 的系数是1， 次数是3，详细是[['x', 2], ['y', 1]]。
单项式-3x2y 的系数是-3， 次数是3，详细是[['x', 2], ['y', 1]]。
合并同类项后详细情况是： [[-2, 3, [['x', 2], ['y', 1]]]]
合并同类项后是:-2x2y多项式10y2+0.5y2 具有以下的项： ['10y2', '0.5y2']
其中各单项分别是：
单项式10y2 的系数是10， 次数是2，详细是[['y', 2]]。
单项式0.5y2 的系数是0.5， 次数是2，详细是[['y', 2]]。
合并同类项后详细情况是： [[10.5, 2, [['y', 2]]]]
合并同类项后是:10.5y2多项式-0.5a2bc+0.5cba2 具有以下的项： ['-0.5a2bc', '0.5cba2']
其中各单项分别是：
单项式-0.5a2bc 的系数是-0.5， 次数是4，详细是[['a', 2], ['b', 1], ['c', 1]]。
单项式0.5cba2 的系数是0.5， 次数是4，详细是[['a', 2], ['b', 1], ['c', 1]]。
合并同类项后详细情况是： []
合并同类项后是:0多项式0.25mn-0.33mn+7 具有以下的项： ['0.25mn', '-0.33mn', '7']
其中各单项分别是：
单项式0.25mn 的系数是0.25， 次数是2，详细是[['m', 1], ['n', 1]]。
单项式-0.33mn 的系数是-0.33， 次数是2，详细是[['m', 1], ['n', 1]]。
单项式7 的系数是7， 次数是0，
合并同类项后详细情况是： [[-0.08, 2, [['m', 1], ['n', 1]]], [7, 0, []]]
合并同类项后是:-0.08mn+7多项式7ab-3a2b2+7+8ab2+3a2b2-3-7ab 具有以下的项： ['7ab', '-3a2b2', '7', '8ab2', '3a2b2', '-3', '-7ab']
其中各单项分别是：
单项式7ab 的系数是7， 次数是2，详细是[['a', 1], ['b', 1]]。
单项式-3a2b2 的系数是-3， 次数是4，详细是[['a', 2], ['b', 2]]。
单项式7 的系数是7， 次数是0，
单项式8ab2 的系数是8， 次数是3，详细是[['a', 1], ['b', 2]]。
单项式3a2b2 的系数是3， 次数是4，详细是[['a', 2], ['b', 2]]。
单项式-3 的系数是-3， 次数是0，
单项式-7ab 的系数是-7， 次数是2，详细是[['a', 1], ['b', 1]]。
合并同类项后详细情况是： [[4, 0, []], [8, 3, [['a', 1], ['b', 2]]]]
合并同类项后是:4+8ab2多项式3x3-3x2-y2+5y+x2-5y+y2 具有以下的项： ['3x3', '-3x2', '-y2', '5y', 'x2', '-5y', 'y2']
其中各单项分别是：
单项式3x3 的系数是3， 次数是3，详细是[['x', 3]]。
单项式-3x2 的系数是-3， 次数是2，详细是[['x', 2]]。
单项式-y2 的系数是-1， 次数是2，详细是[['y', 2]]。
单项式5y 的系数是5， 次数是1，详细是[['y', 1]]。
单项式x2 的系数是1， 次数是2，详细是[['x', 2]]。
单项式-5y 的系数是-5， 次数是1，详细是[['y', 1]]。
单项式y2 的系数是1， 次数是2，详细是[['y', 2]]。
合并同类项后详细情况是： [[3, 3, [['x', 3]]], [-2, 2, [['x', 2]]]]
合并同类项后是:3x3-2x2def tmp():a = ['x2y-3x2y', '10y2+0.5y2', '-1/2a2bc+1/2cba2',\'1/4mn-1/3mn+7', '7ab-3a2b2+7+8ab2+3a2b2-3-7ab',\'3x3-3x2-y2+5y+x2-5y+y2'];size = len(a);for i in range(size):a[i] = algExpr(a[i]);print(a);for i in range(size):polynomial(a[i]);return;

#题4>>> 
['4a3b-10b3-3a2b2+10b3', '4x2y-5xy2-3x2y+4xy2', '5a2-a2-5a2+2a+2a2-6a', '15+3-3a-1+a+a2+1-a+a2-a3', '4a2b-3ab-5a2b+2ab', '6m2-4m-3+2m2-4m+1', '5a2+2a-1-12+32a-8a2', '3x2-5x+0.5x-3-2x2']
多项式4a3b-10b3-3a2b2+10b3 具有以下的项： ['4a3b', '-10b3', '-3a2b2', '10b3']
其中各单项分别是：
单项式4a3b 的系数是4， 次数是4，详细是[['a', 3], ['b', 1]]。
单项式-10b3 的系数是-10， 次数是3，详细是[['b', 3]]。
单项式-3a2b2 的系数是-3， 次数是4，详细是[['a', 2], ['b', 2]]。
单项式10b3 的系数是10， 次数是3，详细是[['b', 3]]。
合并同类项后详细情况是： [[4, 4, [['a', 3], ['b', 1]]], [-3, 4, [['a', 2], ['b', 2]]]]
合并同类项后是:4a3b-3a2b2多项式4x2y-5xy2-3x2y+4xy2 具有以下的项： ['4x2y', '-5xy2', '-3x2y', '4xy2']
其中各单项分别是：
单项式4x2y 的系数是4， 次数是3，详细是[['x', 2], ['y', 1]]。
单项式-5xy2 的系数是-5， 次数是3，详细是[['x', 1], ['y', 2]]。
单项式-3x2y 的系数是-3， 次数是3，详细是[['x', 2], ['y', 1]]。
单项式4xy2 的系数是4， 次数是3，详细是[['x', 1], ['y', 2]]。
合并同类项后详细情况是： [[1, 3, [['x', 2], ['y', 1]]], [-1, 3, [['x', 1], ['y', 2]]]]
合并同类项后是:x2y-xy2多项式5a2-a2-5a2+2a+2a2-6a 具有以下的项： ['5a2', '-a2', '-5a2', '2a', '2a2', '-6a']
其中各单项分别是：
单项式5a2 的系数是5， 次数是2，详细是[['a', 2]]。
单项式-a2 的系数是-1， 次数是2，详细是[['a', 2]]。
单项式-5a2 的系数是-5， 次数是2，详细是[['a', 2]]。
单项式2a 的系数是2， 次数是1，详细是[['a', 1]]。
单项式2a2 的系数是2， 次数是2，详细是[['a', 2]]。
单项式-6a 的系数是-6， 次数是1，详细是[['a', 1]]。
合并同类项后详细情况是： [[1, 2, [['a', 2]]], [-4, 1, [['a', 1]]]]
合并同类项后是:a2-4a
多项式15+3-3a-1+a+a2+1-a+a2-a3 具有以下的项： ['15', '3', '-3a', '-1', 'a', 'a2', '1', '-a', 'a2', '-a3']
其中各单项分别是：
单项式15 的系数是15， 次数是0，
单项式3 的系数是3， 次数是0，
单项式-3a 的系数是-3， 次数是1，详细是[['a', 1]]。
单项式-1 的系数是-1， 次数是0，
单项式a 的系数是1， 次数是1，详细是[['a', 1]]。
单项式a2 的系数是1， 次数是2，详细是[['a', 2]]。
单项式1 的系数是1， 次数是0，
单项式-a 的系数是-1， 次数是1，详细是[['a', 1]]。
单项式a2 的系数是1， 次数是2，详细是[['a', 2]]。
单项式-a3 的系数是-1， 次数是3，详细是[['a', 3]]。
合并同类项后详细情况是： [[18, 0, []], [-3, 1, [['a', 1]]], [2, 2, [['a', 2]]], [-1, 3, [['a', 3]]]]
合并同类项后是:18-3a+2a2-a3多项式4a2b-3ab-5a2b+2ab 具有以下的项： ['4a2b', '-3ab', '-5a2b', '2ab']
其中各单项分别是：
单项式4a2b 的系数是4， 次数是3，详细是[['a', 2], ['b', 1]]。
单项式-3ab 的系数是-3， 次数是2，详细是[['a', 1], ['b', 1]]。
单项式-5a2b 的系数是-5， 次数是3，详细是[['a', 2], ['b', 1]]。
单项式2ab 的系数是2， 次数是2，详细是[['a', 1], ['b', 1]]。
合并同类项后详细情况是： [[-1, 3, [['a', 2], ['b', 1]]], [-1, 2, [['a', 1], ['b', 1]]]]
合并同类项后是:-a2b-ab多项式6m2-4m-3+2m2-4m+1 具有以下的项： ['6m2', '-4m', '-3', '2m2', '-4m', '1']
其中各单项分别是：
单项式6m2 的系数是6， 次数是2，详细是[['m', 2]]。
单项式-4m 的系数是-4， 次数是1，详细是[['m', 1]]。
单项式-3 的系数是-3， 次数是0，
单项式2m2 的系数是2， 次数是2，详细是[['m', 2]]。
单项式-4m 的系数是-4， 次数是1，详细是[['m', 1]]。
单项式1 的系数是1， 次数是0，
合并同类项后详细情况是： [[8, 2, [['m', 2]]], [-8, 1, [['m', 1]]], [-2, 0, []]]
合并同类项后是:8m2-8m-2
多项式5a2+2a-1-12+32a-8a2 具有以下的项： ['5a2', '2a', '-1', '-12', '32a', '-8a2']
其中各单项分别是：
单项式5a2 的系数是5， 次数是2，详细是[['a', 2]]。
单项式2a 的系数是2， 次数是1，详细是[['a', 1]]。
单项式-1 的系数是-1， 次数是0，
单项式-12 的系数是-12， 次数是0，
单项式32a 的系数是32， 次数是1，详细是[['a', 1]]。
单项式-8a2 的系数是-8， 次数是2，详细是[['a', 2]]。
合并同类项后详细情况是： [[-3, 2, [['a', 2]]], [34, 1, [['a', 1]]], [-13, 0, []]]
合并同类项后是:-3a2+34a-13多项式3x2-5x+0.5x-3-2x2 具有以下的项： ['3x2', '-5x', '0.5x', '-3', '-2x2']
其中各单项分别是：
单项式3x2 的系数是3， 次数是2，详细是[['x', 2]]。
单项式-5x 的系数是-5， 次数是1，详细是[['x', 1]]。
单项式0.5x 的系数是0.5， 次数是1，详细是[['x', 1]]。
单项式-3 的系数是-3， 次数是0，
单项式-2x2 的系数是-2， 次数是2，详细是[['x', 2]]。
合并同类项后详细情况是： [[1, 2, [['x', 2]]], [-4.5, 1, [['x', 1]]], [-3, 0, []]]
合并同类项后是:x2-4.5x-3>>> def tmp():a = ['4a3b-10b3-3a2b2+10b3', \'4x2y-5xy2-3x2y+4xy2',\'5a2-a2-5a2+2a+2a2-2*3a',\'15+3-3a-1+a+a2+1-a+a2-a3',\'4a2b-3ab-5a2b+2ab',\'6m2-4m-3+2m2-4m+1',\'5a2+2a-1-4*3+32a-8a2',\'3x2-5x+1/2x-3-2x2'];size = len(a);for i in range(size):a[i] = algExpr(a[i]);print(a);for i in range(size):print('<{0}>\n'.format(i+1));polynomial(a[i]);return;

为了结果的正确性着想，还是将就点好了。

这道题如果不看结果，小伟也觉得很平常，还是看下结果吧。

#题5>>> 
['5x2+4-3x2-5x-2x2-5+6x']
多项式5x2+4-3x2-5x-2x2-5+6x 具有以下的项： ['5x2', '4', '-3x2', '-5x', '-2x2', '-5', '6x']
其中各单项分别是：
单项式5x2 的系数是5， 次数是2，详细是[['x', 2]]。
单项式4 的系数是4， 次数是0，
单项式-3x2 的系数是-3， 次数是2，详细是[['x', 2]]。
单项式-5x 的系数是-5， 次数是1，详细是[['x', 1]]。
单项式-2x2 的系数是-2， 次数是2，详细是[['x', 2]]。
单项式-5 的系数是-5， 次数是0，
单项式6x 的系数是6， 次数是1，详细是[['x', 1]]。
合并同类项后详细情况是： [[-1, 0, []], [1, 1, [['x', 1]]]]
合并同类项后是:-1+x

口算得到答案是-4。

#题9>>> 
['12.56r', '6.28r+2.09r+1.05r']
多项式12.56r 具有以下的项： ['12.56r']
其中各单项分别是：
单项式12.56r 的系数是12.56， 次数是1，详细是[['r', 1]]。
合并同类项后详细情况是： [[12.56, 1, [['r', 1]]]]
合并同类项后是:12.56r多项式6.28r+2.09r+1.05r 具有以下的项： ['6.28r', '2.09r', '1.05r']
其中各单项分别是：
单项式6.28r 的系数是6.28， 次数是1，详细是[['r', 1]]。
单项式2.09r 的系数是2.09， 次数是1，详细是[['r', 1]]。
单项式1.05r 的系数是1.05， 次数是1，详细是[['r', 1]]。
合并同类项后详细情况是： [[9.42, 1, [['r', 1]]]]
合并同类项后是:9.42rdef tmp():a = ['2*2*3.14r',\'2*3.14r+2*1/3*3.14r+2*1/6*3.14r'];size = len(a);for i in range(size):a[i] = algExpr(a[i]);print(a);for i in range(size):#print('<{0}>\n'.format(i+1));polynomial(a[i]);return;

看来[人叫板老师]的问题，小伟都解答完毕了。

这里小伟整理了一下用到的工具：

###
# @usage   单项式相关概念
# @author  mw
# @date    2016年02月26日  星期五  10:00:14 
# @param
# @return
#
###
#单项式
#可以有**， ^号，暂时只能处理代号为一个字母的式子，像x_1, x_n, ...这种还不能处理。
def monomial(s):#原始复本s0 = s;s = s.replace('**', '^');s = s.replace('*', '');if (s.find('+') != -1 or (s.find('-') != -1 and s.find('-')!=0)):print(s0, '不是单项式。');return [];try:#系数sign = 1;if s[0] == '-':#负号sign = -1;s = s[1:];coefficient = 1;#字符串长度length = len(s);index = 0;while (not s[index].isalpha()):index+=1;if index >= length:index = length;break;if (index > 0):coefficient = float(s[:index]);if abs(int(coefficient)-coefficient) < 0.001:coefficient = int(coefficient);        s = s[index:];coefficient = sign * coefficient;#系数为0的项，其实就是0if (coefficient == 0):return [];#print(coefficient, s);length = len(s);array = [];if (length > 0):index = 0;index2 = 0;name = '';degree = 0;while index < length:        if s[index].isalpha():if (name != ''):array.append([name, degree]);name = '';degree = 0;name = s[index];degree = 1;index += 1;else:index2 = index;tmp = '';while (not s[index2].isalpha()):index2+=1;if (index2 >= length):index2 = length;break;tmp = s[index:index2];tmp = tmp.replace('^', '');degree = float(tmp);if abs(int(degree)-degree) < 0.001:degree = int(degree);index = index2;if (name != ''):array.append([name, degree]);name = '';degree = 0;#print(array);#所有字母，去除重复的setA = set();size = len(array);#单项式的次数totalDegree = 0;for i in range(size):setA.add(array[i][0]);totalDegree += array[i][1];listA = list(setA);listA.sort();size2 = len(listA);result = [];for i in range(size2):#计算每个字母的次数(degree)tmp = 0;for j in range(size):if listA[i] == array[j][0]:tmp += array[j][1];result.append([listA[i], tmp]);print('单项式{0} 的系数是{1}， 次数是{2}，详细是{3}。'.format(\s0, coefficient, totalDegree, result));else:totalDegree = 0;if (coefficient != 0):print('单项式{0} 的系数是{1}， 次数是{2}，'.format(\s0, coefficient, 0));else:print('这个数是0, 暂无规定。');#返回单项式的次数return [coefficient, totalDegree, array];except:print(s0, '有误，无法正确计算。');###
# @usage   多项式相关概念
# @author  mw
# @date    2016年02月26日  星期五  10:30:37 
# @param   如果有括号，需要先自行去除，
# @return
#
###
def polynomial(s):if (s == ''):return;#预留复本s0 = s;#只能有+或-号连接各项，不能有括号，分数要先化成小数s = s.replace('-', '+-');if (s[0] == '+'):s = s[1:];#各项terms = s.split('+');print('多项式{0} 具有以下的项： {1}\n其中各单项分别是：'.format(s0, terms));try:size = len(terms);array = [];for i in range(size):#此处也可扩展单项的合法性检查。if (terms[i] == ''):pass;else:tmp = monomial(terms[i]);#对于返回[]的项，剔除掉if len(tmp)>0:array.append(tmp);#print(array);size2 = len(array);for i in range(size2):#判断系数是否是0if array[i][0] == 0:continue;for j in range(i+1, size2):if array[j][0] == 0:continue;else:if (sameTerm(array[i], array[j])):#合并同类项array[i][0]+=array[j][0];array[j][0] = 0;result = [];for i in range(size2):#判断系数是否是0if array[i][0] == 0:continue;else:#保留三位小数array[i][0] = round(array[i][0], 3);result.append(array[i]);print('合并同类项后详细情况是：', result);sResult = '';size3 = len(result);if (size3)>0:for i in range(size3):tmp1 = result[i][0];if (tmp1 >= 0):if (tmp1 != 1):sResult += '+'+str(tmp1);else:sResult += '+';if (tmp1 < 0):if (tmp1!=-1):sResult += str(tmp1);else:sResult += '-';tmp2 = result[i][2];length = len(tmp2);if (length == 0 and abs(tmp1)==1):sResult += '1';else:for j in range(length):if tmp2[j][1] != 1:sResult += tmp2[j][0]+str(tmp2[j][1]);else:sResult += tmp2[j][0];if sResult[0] == '+':sResult = sResult[1:];else:#所有项的系数刚好抵消，导致结果为0sResult = '0';print('合并同类项后是:{0}\n\n'.format(sResult));except:print(s0, '有误，无法进行多项式操作。');return;#同类项判断
def sameTerm(a, b):#由于a, b具有以下格式[1, 1, [['v', 1]]] [系数, 次数, 详细元素]if (a[1] == 0 and b[1] == 0):return True;if (a[1] != b[1]):#次数不同return False;if (len(a[2]) != len(b[2])):#元素个数不同return False;a1 = list(a[2]);b1 = list(b[2]);a1 = sorted(a1, key=lambda num:num[0]);b1 = sorted(b1, key=lambda num:num[0]);size = len(a1);for i in range(size):if a1[i][0] != b1[i][0] or a1[i][1] != b1[i][1]:return False;return True;###
# @usage   代数式，可以对系数中含计算式的情况进行计算，得出简化后的多项式字符串
# @author  mw
# @date    2016年02月27日  星期六  09:23:44 
# @param
# @return
#
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#代数式
def algExpr(s):s0 = s;#判断字符串中左右括号是否匹配if s.count('(') - s.count(')') != 0:print(s, '左右括号数目不匹配，表达式有误。');return '';#去除空格s = s.replace(' ', '');#存放需要计算的表达式子串sub = '';length = len(s);#新字符串sNew = '';#括号层次bracket = 0;result = [];#需要计算的部分，是从每一个单项的开始处，一般只需要计算系数need = 1;#遍历字符串si = 0;while i < length:if (s[i] == '('):bracket+=1;sub += s[i];elif (s[i] == ')'):bracket -=1;sub += s[i];                elif (s[i].isalpha()):if sub != '':sNew += str(round(eval(sub), 2))+ s[i];sub = '';else:sNew += s[i];#由于字母后面是次数，不需要计算need = 0;            elif (s[i] == '+' or s[i] == '-'):if (bracket == 0):if sub != '':sNew += str(round(eval(sub), 2))+ s[i];sub = '';else:sNew += s[i];need = 1;else:sub += s[i];else:if (need == 1):sub += s[i];else:sNew += s[i];i += 1;if sub != '':sNew += str(round(eval(sub), 2));sub = '';#print(sNew);return sNew;      def tmp():a = ['2*2*3.14r',\'2*3.14r+2*1/3*3.14r+2*1/6*3.14r'];size = len(a);for i in range(size):a[i] = algExpr(a[i]);print(a);for i in range(size):#print('<{0}>\n'.format(i+1));polynomial(a[i]);return;

本节到此结束，欲知后事如何，请看下回分解。

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