Trace—σ代数的证明

本文旨在证明 Trace $\sigma$ algebra 是一个algebra。Trace $\sigma$ algebra 的定义是：

假设$E\subseteq X$，且$\mathcal{A}$是X上的$\sigma$代数，那么
A E \mathscr{A}_{E} AE​ $:=$ { E ∩ A , A ∈ A } \{E \cap{A} , A\in\mathscr{A}\} {E∩A,A∈A}是一个$E$上的$\sigma$ algebra。

证明，根据定义的三条，第一条 E ∈ A E E\in\mathscr{A}_{E} E∈AE​明显满足。
第二条，需要证明$E$的子集 A ∈ A E A\in\mathscr{A}_{E} A∈AE​那么 E ∖ A ∈ A E E\setminus A\in\mathscr{A}_{E} E∖A∈AE​
假设一些S=E$\cap$A$,$A$\in$ A E \mathscr{A}_E AE​，因此，$X\setminus S\in \mathcal{A}$,那么根据定义 E ∩ ( X ∖ S ) ∈ A E E\cap(X\setminus S)\in\mathscr{A}_E E∩(X∖S)∈AE​而$E\cap (X\setminus S)=(E\cap X)\setminus S=E\setminus S$,所以 E ∖ S ∈ A E E\setminus S \in \mathscr{A}_E E∖S∈AE​。

第三条需要证明的条件是： A i ∈ A E , 那 么 ∪ i ∈ N A i ∈ A E A_i\in \mathscr{A}_E,那么\cup _{i\in\mathbb{N}}A_i\in\mathscr{A}_E Ai​∈AE​,那么∪i∈N​Ai​∈AE​。
证明过程如下：
根据定义假设 S i = E ∩ A i S_i=E\cap A_i Si​=E∩Ai​其中 A i ∈ A A_i \in \mathscr{A} Ai​∈A,那么 ∪ S i = E ∩ { ∪ A i } \cup S_i=E\cap \{\cup A_i\} ∪Si​=E∩{∪Ai​}，由于$\mathcal{A}$是$\sigma$-algebra，所以 { ∪ A i } ∈ A \{\cup A_i\} \in \mathscr{A} {∪Ai​}∈A ,根据定义 ∪ S i ∈ A E \cup S_i \in \mathscr{A}_E ∪Si​∈AE​.

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