非静压模型NHWAVE学习（2）——垂向σ-坐标系
NHWAVE模型垂向σ-坐标系
- NHWAVE模型原理回顾
- 垂向σ-坐标系
- 基于σ-坐标系的N-S方程的变形
- 其它
- 参考文献
这个系列的blog有点类似NHWAVE手册和代码的解读，内容之中也会穿插一些个人的学习体会。
NHWAVE模型原理回顾
在 非静压模型NHWAVE学习（1）——模型原理简介 中，我们主要介绍了模型的控制方程。
包括控制水流运动的N-S方程，和控制物质输运的对流-扩散方程。
- N-S方程
- 对流-扩散方程
垂向σ-坐标系
在非静压模型NHWAVE中，自由表面水位 η 被假定为水平位置的单值函数，即
η = η ( x , y , t ) η=η(x,y,t) η=η(x,y,t)
这种处理方式不同于传统的VOF、MAC等自由表面追踪技术，有着更高的计算效率。
为了使模型系统适应上述的处理方式，以及网格适应复杂的水底地形与自由表面形态的变化，NHWAVE模型采用了Phillips (1957) 1 提出的坐标变换方法（将在原时空笛卡尔坐标系统(x*, y*, z*, t*)下的物理量转化至新系统(x, y, z, t)之中）：
式子中，D = h + η，h表示水深，η表示水位；于是，在垂直方向上，取值范围为 [-h(x*, y*, t*), η(x*, y*, t*)] 的 z*(x*, y*, t*) 转换成了处处取值为 [0, 1] 的 σ。就像方程做了如下的网格变形。
（注： 上图中左图为物理区域，右图为转化后的计算区域）
基于σ-坐标系的N-S方程的变形
假设一个在新坐标系统下的函数
f = f ( x ∗ , y ∗ , z ∗ , t ∗ ) f = f(x^*,y^*, z^*, t^* ) f=f(x∗,y∗,z∗,t∗)
应用复合函数的链式法则，我们可以得到：
以及，
于是，连续性方程就被写成
或
式子中的ω表示的是σ-坐标系下的垂向速度（垂直于σ-坐标系网格的速度），ω与垂向速度w的关系为：
将上述连续性方程沿垂向积分，得到了
解出了总水深D，则可求得自由表面位置；即上式是自由表面的控制方程。
同理，N-S方程中的动量方程同样可以由上面的方法进行坐标变换，得到如下的动量方程形式：
其中，
详细可见NHWAVE模型手册及Gangfeng Ma等人的论文（20122，2013 3）。
其它
最后再简要介绍以下其它常见的σ-坐标系。
NHWAVE模型中的σ-坐标系一般被称作单层σ-坐标系，即它将整个垂向区域都纳入了σ-坐标体系中。在实际应用过程中，单层σ-坐标系内整个计算区域的网格会随着自由水面波动而波动，难以固定计算域内某一固定点的位置。
为了克服这样的缺陷，香港学者李行伟（C. W. Lee）等人提出了两层σ-坐标系 4，即上层网格随自由水面波动而变化，下层网格固定不变。他应用这种坐标系计算了底柱扰流，得到了非常不错的模拟效果。
在此之后，我国学者林鹏智（P. Lin）提出了多层σ-坐标系5，并将此推广到任意层 坐标下波和障碍物耦合作用研究。以三层σ-坐标系为例，它在垂向的网格布置如下图所示。
（注： 上图中左图为物理区域，右图为转化后的计算区域）
参考文献
Phillips, N.A… A coordinate system having some special advantages for numerical forecasting. J. Meteor, 1957, 14, 184–185. ↩︎
Ma G , Shi F , Kirby J T . Shock-capturing non-hydrostatic model for fully dispersive surface wave processes[J]. Ocean Modelling, 2012, 43-44(22-35):22-35. ↩︎
Ma G , Kirby J T , F Shi. Numerical simulation of tsunami waves generated by deformable submarine landslides[J]. Ocean Modelling, 2013, 69(Complete):146-165. ↩︎
Li, C. W , Zhu, et al. A sigma coordinate 3D k–ε model for turbulent free surface flow over a submerged structure.[J]. Applied Mathematical Modelling, 2002. ↩︎
Lin P . A multiple-layer σ-coordinate model for simulation of wave-structure interaction[J]. Computers & Fluids, 2006, 35(2):147-167. ↩︎
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