《矩阵论》学习笔记 第0章 复习与引申

《矩阵论》学习笔记。学习视频为东南大学周建华教授的矩阵论课程，B站上可以搜到。

一、 矩阵乘法中应注意的问题

1. 矩阵乘法中存在非零因子

例1.
已知 N = [ 0 1 0 1 0 ⋱ 1 ⋱ 0 ] N=\left[\begin{matrix} 0 & 1 \\ & 0 & 1 \\ & & 0 & \ddots & 1 \\ & & & \ddots & 0 \end{matrix} \right] N=⎣⎢⎢⎡​0​10​10​⋱⋱​10​⎦⎥⎥⎤​求 N s N^s Ns
解： N s = [ 0 0 ⋯ 0 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ 0 ] N^s=\left[\begin{matrix} 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 0 \end{matrix} \right] Ns=⎣⎢⎢⎢⎡​00⋮0​00⋮0​⋯⋯⋱⋯​00⋮0​⎦⎥⎥⎥⎤​

2. 矩阵乘法不可交换

例2.
设 A = [ d 1 0 0 d 2 ] A=\left[\begin{matrix} d_1 & 0\\ 0 & d_2 \end{matrix} \right] A=[d1​0​0d2​​]其中， d 1 d_1 d1​， d 2 d_2 d2​互异，求所有与$A$可交换的矩阵。
解：设 B = [ b 11 b 12 b 21 b 22 ] B=\left[\begin{matrix} b_{11} & b_{12}\\ b_{21} & b_{22} \end{matrix} \right] B=[b11​b21​​b12​b22​​]则
A B = [ d 1 b 11 d 1 b 12 d 2 b 21 d 2 b 22 ] AB=\left[\begin{matrix} d_1b_{11} & d_1b_{12}\\ d_2b_{21} & d_2b_{22} \end{matrix} \right] AB=[d1​b11​d2​b21​​d1​b12​d2​b22​​]
$$AB=BA$$ $$\Downarrow$$
{ d 1 b 12 = b 12 d 2 d 2 b 21 = b 21 d 1 \begin{cases} d_1b_{12}=b_{12}d_2 \\ d_2b_{21}=b_{21}d_1 \end{cases} {d1​b12​=b12​d2​d2​b21​=b21​d1​​
$$\Downarrow$$
b 12 = b 21 = 0 b_{12}=b_{21}=0 b12​=b21​=0
只有对角矩阵相乘才可以交换。

3. 乘法消去律不成立

对给定的矩阵$A$,当$A$满足什么条件时，由$AB=AC$必可推出$B=C$?
$A$可逆。

4. 一些代数恒等式不再成立

如：
( A + B ) ( B + A ) ≠ A 2 − B 2 (A+B)(B+A)\ne A^2-B^2 (A+B)(B+A)​=A2−B2
当$$AB=BA$$时，相应的二项式定理成立，即，
( A + B ) m = A m + C m 1 A m − 1 B + C m 2 A m − 2 B 2 + ⋯ + C m m − 1 A B m − 1 + B m (A+B)^m=A^m+C_{m}^{1}A^{m-1}B+C_{m}^{2}A^{m-2}B^2+\cdots+C_{m}^{m-1}AB^{m-1}+B^m (A+B)m=Am+Cm1​Am−1B+Cm2​Am−2B2+⋯+Cmm−1​ABm−1+Bm
例3.
计算下述矩阵的k次幂
A = [ λ 1 0 ⋯ 0 0 λ 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 0 0 0 ⋯ λ ] A=\left[\begin{matrix} \lambda & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\0 & 0 & 0 & \cdots & 1\\0&0&0&\cdots&\lambda \end{matrix} \right] A=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎡​λ0⋮00​1λ⋮00​01⋮00​⋯⋯⋱⋯⋯​00⋮1λ​⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎤​
解：$A=\lambda I+N$且$\lambda$ $I$与$N$可交换
A k = ( λ I + N ) k = ( λ I ) k + C k 1 ( λ I ) k − 1 N + C k 2 ( λ I ) k − 2 N 2 + ⋯ + C k k − 1 ( λ I ) N k − 1 + N k = [ λ k C k 1 λ k − 1 C k 2 λ k − 2 ⋯ C k n − 1 λ k − n + 1 0 λ k C k 1 λ k − 1 ⋯ C k n − 2 λ k − n + 2 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 0 ⋯ C k 2 λ k − 2 0 0 0 ⋯ λ k ] A^k=(\lambda I+N)^k=(\lambda I)^k+C_{k}^{1}(\lambda I)^{k-1}N+C_{k}^{2}(\lambda I)^{k-2}N^2+\cdots+C_{k}^{k-1}(\lambda I)N^{k-1}+N^k \\ =\left[\begin{matrix} {\lambda}^k & C_{k}^{1}{\lambda}^{k-1} & C_{k}^{2}{\lambda}^{k-2} & \cdots & C_{k}^{n-1}{\lambda}^{k-n+1} \\ 0 & {\lambda}^k & C_{k}^{1}{\lambda}^{k-1} & \cdots & C_{k}^{n-2}{\lambda}^{k-n+2} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\0 & 0 & 0 & \cdots & C_{k}^{2}{\lambda}^{k-2}\\0&0&0&\cdots&{\lambda}^k \end{matrix} \right] Ak=(λI+N)k=(λI)k+Ck1​(λI)k−1N+Ck2​(λI)k−2N2+⋯+Ckk−1​(λI)Nk−1+Nk=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎡​λk0⋮00​Ck1​λk−1λk⋮00​Ck2​λk−2Ck1​λk−1⋮00​⋯⋯⋱⋯⋯​Ckn−1​λk−n+1Ckn−2​λk−n+2⋮Ck2​λk−2λk​⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎤​
#二、分块矩阵
A i j = ( a i j ) s × n , B = ( b i j ) s × n A_{ij}=(a_{ij})_{s\times n},B=(b_{ij})_{s\times n} Aij​=(aij​)s×n​,B=(bij​)s×n​

1. $A$,$B$均按按行进行分块

A = [ α 1 α 2 ⋮ α s ] B = [ β 1 β 2 ⋮ β s ] A=\left[\begin{matrix} \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \vdots \\ \alpha_s \end{matrix} \right] B=\left[\begin{matrix} \beta_1 \\ \beta_2 \\ \vdots \\ \beta_s \end{matrix} \right] A=⎣⎢⎢⎢⎡​α1​α2​⋮αs​​⎦⎥⎥⎥⎤​B=⎣⎢⎢⎢⎡​β1​β2​⋮βs​​⎦⎥⎥⎥⎤​
A + B = [ α 1 + β 1 α 2 + β 2 ⋮ α s + β s ] A+B=\left[\begin{matrix} \alpha_1+\beta_1 \\ \alpha_2+\beta_2 \\ \vdots \\ \alpha_s+\beta_s \end{matrix} \right] A+B=⎣⎢⎢⎢⎡​α1​+β1​α2​+β2​⋮αs​+βs​​⎦⎥⎥⎥⎤​
$$r(A+B)\le r(A)+r(B)$$

2. $A$按行分块，$B$不分块

A B = ( α 1 , α 2 , ⋯ , α n ) [ b 11 b 12 ⋯ b 1 t b 21 b 22 ⋯ b 2 t ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ b n 1 b n 2 ⋯ b n t ] = ( ∑ k = 1 n b k 1 α k , ∑ k = 1 n b k 2 α k , ⋯ , ∑ k = 1 n b k t α k ) AB=(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n)\left[\begin{matrix}b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1t}\\b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2t}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{n1} & b_{n2} & \cdots & b_{nt}\end{matrix}\right] \\= (\sum_{k=1}^{n}b_{k1}\alpha_k,\sum_{k=1}^{n}b_{k2}\alpha_k,\cdots,\sum_{k=1}^{n}b_{kt}\alpha_k) AB=(α1​,α2​,⋯,αn​)⎣⎢⎢⎢⎡​b11​b21​⋮bn1​​b12​b22​⋮bn2​​⋯⋯⋱⋯​b1t​b2t​⋮bnt​​⎦⎥⎥⎥⎤​=(k=1∑n​bk1​αk​,k=1∑n​bk2​αk​,⋯,k=1∑n​bkt​αk​)
从上式可知，$AB$的列向量是$A$的列向量的线性组合，且组合系数刚好是$B$的相应的各个列的元素。因此
$$r(AB)\le r(A),r(B)$$

3. $A$不分块，$B$按行分块

A B = [ a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a s 1 a s 2 ⋯ a s n ] [ β 1 β 2 ⋮ β n ] = [ ∑ k = 1 n a 1 k β k ∑ k = 1 n a 2 k β k ⋮ ∑ k = 1 n a s k β k ] AB=\left[\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{s1}&a_{s2}&\cdots&a_{sn}\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}\beta_1 \\ \beta_2 \\ \vdots \\ \beta_n\end{matrix}\right]\\=\left[\begin{matrix}\sum_{k=1}^{n}a_{1k}\beta_k\\\sum_{k=1}^{n}a_{2k}\beta_k\\\vdots\\\sum_{k=1}^{n}a_{sk}\beta_k\end{matrix}\right] AB=⎣⎢⎢⎢⎡​a11​a21​⋮as1​​a12​a22​⋮as2​​⋯⋯⋱⋯​a1n​a2n​⋮asn​​⎦⎥⎥⎥⎤​⎣⎢⎢⎢⎡​β1​β2​⋮βn​​⎦⎥⎥⎥⎤​=⎣⎢⎢⎢⎡​∑k=1n​a1k​βk​∑k=1n​a2k​βk​⋮∑k=1n​ask​βk​​⎦⎥⎥⎥⎤​
从上式可知，$AB$的行向量是$B$的行向量的线性组合，且组合系数刚好是$A$的相应的各个行的元素。因此
$$r(AB)\le r(A),r(B)$$

4. 将$A$看作一块，$B$按列分块

A ( η 1 , η 2 , ⋯ , η t ) = ( A η 1 , A η 2 , ⋯ , A η t ) A(\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_t)=(A\eta_1,A\eta_2,\cdots,A\eta_t) A(η1​,η2​,⋯,ηt​)=(Aη1​,Aη2​,⋯,Aηt​)
若$AB=0$，则 A η j = 0 ( j = 1 , 2 , ⋯ , t ) A\eta_j=0(j=1,2,\cdots,t) Aηj​=0(j=1,2,⋯,t), η j \eta_j ηj​是$AX=0$的解向量，因此由$n-r$个向量是线性无关的，$r$为$A$的秩
r ( η 1 , η 2 , ⋯ , η t ) ≤ n − r r ( B ) + r ( A ) ≤ n r(\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_t)\le n-r\\r(B)+r(A)\le n r(η1​,η2​,⋯,ηt​)≤n−rr(B)+r(A)≤n

5. 将矩阵分成四块

例4.
证明：上三角矩阵的乘积仍是上三角矩阵
证：
A = [ A 1 α 0 a n × n ] , B = [ B 1 β 0 b n × n ] A=\left[\begin{array}{c|c}A_1&\alpha\\ \hline 0 & a_{n\times n}\end{array}\right] ,B=\left[\begin{array}{c|c}B_1 & \beta\\ \hline 0 & b_{n \times n} \end{array}\right] A=[A1​0​αan×n​​​],B=[B1​0​βbn×n​​​]
A B = [ A 1 B 1 A 1 β + α b n × n 0 a n × n b n × n ] AB=\left[\begin{matrix} A_1B_1 & A_1\beta+\alpha b_{n\times n} \\ 0 & a_{n\times n}b_{n\times n}\end{matrix}\right] AB=[A1​B1​0​A1​β+αbn×n​an×n​bn×n​​]
由上式可知，上三角矩阵的乘积仍是上三角矩阵。

三、 非齐次线性方程组

1. 线性方程组

对于非齐次线性方程组。
$AX=b$，其中 A = ( a i j ) s × n , b = ( b 1 , b 2 , ⋯ , b s ) T A=(a_{ij})_{s\times n},b=(b_1,b_2,\cdots,b_s)^T A=(aij​)s×n​,b=(b1​,b2​,⋯,bs​)T

1. 有解$\iff r(A)=r(A,b)$。
2. 若$r(A)=r(A,b)=r$则有唯一解$\iff r=n$。
3. 若$r(A)=r(A,b)=r<n$，则通解中含有$r-n$个自由未知量。

对于齐次线性方程组
$AX=0$，其中 A = ( a i j ) s × n A=(a_{ij})_{s\times n} A=(aij​)s×n​

1. 有非零解当且仅当 r ( A ) < n ， n 1 , n 2 , ⋯ , n t r(A)r(A)<n，n1​,n2​,⋯,nt​（线性无关并且任一解都可由它们线性表示）是$AX=0$的解。
2. 若$r(A)<n$，则其基础解系中含有$n-r$个解向量。
3. 若$r(A)<r$，则其任意$n-r$个线性无关的解向量是其基础解系。

2. Gauss消元法

用初等变换将增广矩阵化成阶梯形矩阵。第一步，确定自由变量。第二步，用回代法找出通解。
例4.
设$A$是$s\times n$矩阵，$b$是$s$维列向量，证明

1. r ( A ) = r ( A H A ) r(A)=r(A^HA) r(A)=r(AHA)
2. 线性方程 A H A X = A H b A^HAX=A^Hb AHAX=AHb恒有解。

注： A H A^H AH为$A$的共轭转置。

1. 证：
   要证 r ( A ) = r ( A H A ) r(A)=r(A^HA) r(A)=r(AHA)，即证$AX=0$的基础解系 S 1 S_1 S1​与 A H A X = 0 A^HAX=0 AHAX=0的基础解系 S 2 S_2 S2​相同。即 S 1 ∈ S 2 S_1 \in S_2 S1​∈S2​的同时 S 2 ∈ S 2 S_2 \in S_2 S2​∈S2​。
   显然
   A η = 0 ⇒ A H A η A\eta=0 \Rightarrow A^HA\eta Aη=0⇒AHAη
   $AX=0$的解必然是 A H A X = 0 A^HAX=0 AHAX=0的解。
   A H A η = 0 A^HA\eta=0 AHAη=0
   等号两边同时乘以 η H \eta^H ηH，得
   η H A H A η = η H 0 \eta^HA^HA\eta=\eta^H 0 ηHAHAη=ηH0
   η ˉ T A ˉ T A η = 0 \bar{\eta}^T\bar{A}^TA\eta=0 ηˉ​TAˉTAη=0
   ( A ˉ η ˉ ) T A η = 0 ({\bar{A}\bar{\eta}})^TA\eta=0 (Aˉηˉ​)TAη=0
   ( A η ) H A η = 0 (A\eta)^HA\eta=0 (Aη)HAη=0
   因为
   A η = [ k 1 k 2 ⋮ k n ] A\eta=\left[\begin{matrix}k_1 \\ k_2 \\ \vdots \\ k_n \end{matrix}\right] Aη=⎣⎢⎢⎢⎡​k1​k2​⋮kn​​⎦⎥⎥⎥⎤​
   所以
   ( A η ) H A η = ( k ˉ 1 , k ˉ 2 , ⋯ , k ˉ s ) [ k 1 k 2 ⋮ k n ] = k ˉ 1 k 1 + k ˉ 2 k 2 + ⋯ + k ˉ s k s = 0 (A\eta)^HA\eta=(\bar{k}_1,\bar{k}_2,\cdots,\bar{k}_s)\left[\begin{matrix}k_1 \\ k_2 \\ \vdots \\ k_n \end{matrix}\right]=\bar{k}_1k_1+\bar{k}_2k_2+\cdots+\bar{k}_sk_s=0 (Aη)HAη=(kˉ1​,kˉ2​,⋯,kˉs​)⎣⎢⎢⎢⎡​k1​k2​⋮kn​​⎦⎥⎥⎥⎤​=kˉ1​k1​+kˉ2​k2​+⋯+kˉs​ks​=0
   因为
   k ˉ 1 k 1 ≥ 0 , k ˉ 2 k 2 ≥ 0 , ⋯ , k ˉ s k s ≥ 0 \bar{k}_1k_1\ge 0,\bar{k}_2k_2\ge 0,\cdots,\bar{k}_sk_s\ge 0 kˉ1​k1​≥0,kˉ2​k2​≥0,⋯,kˉs​ks​≥0
   因此
   k 1 = k 2 = ⋯ = k s k_1=k_2=\cdots=k_s k1​=k2​=⋯=ks​
   $$\Downarrow$$
   $$A\eta =0$$
   2)证：
   要证 A H A X = A H b A^HAX=A^Hb AHAX=AHb恒有解，即证 r ( A H A ) = r ( A H A , A H b ) r(A^HA)=r(A^HA,A^Hb) r(AHA)=r(AHA,AHb)
   显然
   r ( A H A ) ≤ r ( A H A , A H b ) r(A^HA)\le r(A^HA,A^Hb) r(AHA)≤r(AHA,AHb)
   r ( A H A , A H b ) = r ( A H ( A , b ) ) ≤ r ( A H ) = r ( A ) r(A^HA,A^Hb)=r(A^H(A,b))\le r(A^H)=r(A) r(AHA,AHb)=r(AH(A,b))≤r(AH)=r(A)
   由第一问可知
   r ( A H A ) = r ( A ) r(A^HA)=r(A) r(AHA)=r(A)
   所以
   r ( A H A , A H b ) ≤ r ( A H A ) r(A^HA,A^Hb)\le r(A^HA) r(AHA,AHb)≤r(AHA)
   因此
   r ( A H A ) = r ( A H A , A H b ) r(A^HA)=r(A^HA,A^Hb) r(AHA)=r(AHA,AHb)
   A H A X = A H b A^HAX=A^Hb AHAX=AHb恒有解

四、向量组的极大无关组和秩

若向量组 α 1 , α 2 , ⋯ , α s \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s α1​,α2​,⋯,αs​的部分组 α i 1 , α i 2 , ⋯ , α i k \alpha_{i1},\alpha_{i2},\cdots,\alpha_{ik} αi1​,αi2​,⋯,αik​线性无关。且 α 1 , α 2 , ⋯ , α s \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s α1​,α2​,⋯,αs​中每个向量都可由 α i 1 , α i 2 , ⋯ , α i r \alpha_{i1},\alpha_{i2},\cdots,\alpha_{ir} αi1​,αi2​,⋯,αir​线性表示，则称 α i 1 , α i 2 , ⋯ , α i r \alpha_{i1},\alpha_{i2},\cdots,\alpha_{ir} αi1​,αi2​,⋯,αir​是向量组 α 1 , α 2 , ⋯ , α s \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s α1​,α2​,⋯,αs​的极大无关组。称$r$是向量组 α 1 , α 2 , ⋯ , α s \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s α1​,α2​,⋯,αs​的秩。
若向量组 α 1 , α 2 , ⋯ , α s \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s α1​,α2​,⋯,αs​的秩为$r$，则其中任意$r$个线性无关的向量是其极大无关组。

1. 矩阵的秩

矩阵A的秩=A中非零子式的最高阶数=A的行（列）向量组的秩

2. 有关矩阵的秩的不等式

1. $r(A+B)\le r(A)+r(B)$
2. $r(AB)\le r(A),r(B)$
3. 若 A s × n B n × t = 0 r ( A ) + r ( B ) ≤ n A_{s\times n}B_{n\times t}=0 r(A)+r(B)\le n As×n​Bn×t​=0r(A)+r(B)≤n
4. r ( A s × n B n × t ) ≥ r ( A ) + r ( B ) − n r(A_{s\times n} B_{n\times t})\ge r(A)+r(B)-n r(As×n​Bn×t​)≥r(A)+r(B)−n
5. M = [ A C 0 B ] , r ( M ) ≥ r ( A ) + r ( B ) M=\left[\begin{matrix}A&C\\0&B\end{matrix}\right],r(M)\ge r(A)+r(B) M=[A0​CB​],r(M)≥r(A)+r(B)

例5.
若$A$是可逆矩阵，证明$r(AB)=r(B)$
法一：
显然
$$r(AB)\le r(B)$$
同时
B = A − 1 A B B=A^{-1}AB B=A−1AB
可得
r ( B ) ≤ r ( A − 1 ) , r ( A B ) r(B)\le r(A^{-1}),r(AB) r(B)≤r(A−1),r(AB)
则
$$r(B)\le r(AB)$$
所以
$$r(AB)=r(B)$$
法二：
$\exists$初等矩阵 A 1 , A 2 , ⋯ , A s A_1,A_2,\cdots,A_s A1​,A2​,⋯,As​，使 A = A 1 A 2 ⋯ A s A=A_1A_2{\cdots}A_s A=A1​A2​⋯As​
A B = ( A 1 , A 2 , ⋯ , A s ) B AB=(A_1,A_2,\cdots,A_s)B AB=(A1​,A2​,⋯,As​)B
$B$经过一系列初等行变换变成$A\Rightarrow r(AB)=r(B)$

例6.
设$A$是$n$阶幂等矩阵，证明$r(A)+r(I-A)=n$
证：
$$r(A)+r(I-A)\ge r(A+I-A)=r(I)=n$$
同时，由于$A$为幂等矩阵
A ( I − A ) = A − A 2 = 0 A(I-A)=A-A^2=0 A(I−A)=A−A2=0
$$r(A)+r(I-A)\le n$$
所以
$$r(A)+r(I-A)=n$$

3. 矩阵的等价标准型

如果$s\times n$矩阵的秩为$r$，则$A$必与 M = [ I r 0 0 0 ] M=\left[\begin{matrix}I_r&0\\0&0\end{matrix}\right] M=[Ir​0​00​]等价
$s\times n$矩阵$A,B$等价$\iff r(A)=r(B)\iff$存在可逆矩阵$P,Q$使$B=PAQ$

4. 满秩分解

例7.
假设$s\times n$矩阵$A$的秩为$r$，证明存在$s\times r$矩阵$B$及$r\times n$矩阵$C$，使得$A=BC$（矩阵的满秩分解）
证：
$$r(A)\le r(B),r(C)\le r\Rightarrow r(B)=r(C)=r$$
由矩阵的等价标准型可知，$\exists s\times n$矩阵 M = [ I r 0 0 0 ] M=\left[\begin{matrix}I_r&0\\0&0\end{matrix}\right] M=[Ir​0​00​]使得$A$与$M$等价，$s\times n$矩阵 [ I r 0 0 0 ] \left[\begin{matrix}I_r&0\\0&0\end{matrix}\right] [Ir​0​00​]等于$s\times r$矩阵 [ I r 0 ] \left[\begin{matrix}I_r\\0\end{matrix}\right] [Ir​0​]乘以$r\times n$矩阵 ( I r 0 ) (I_r 0) (Ir​0)
即 A = P [ I r 0 0 0 ] Q = P [ I r 0 ] ( I r 0 ) Q B = P [ I r 0 ] C = ( I r 0 ) Q A=P\left[\begin{matrix}I_r&0\\0&0\end{matrix}\right]Q=P\left[\begin{matrix}I_r\\0\end{matrix}\right](I_r 0)Q \\B=P\left[\begin{matrix}I_r\\0\end{matrix}\right] C=(I_r 0)Q A=P[Ir​0​00​]Q=P[Ir​0​](Ir​0)QB=P[Ir​0​]C=(Ir​0)Q
由此可知存在$s\times r$矩阵$B$及$r\times n$矩阵$C$，使得$A=BC$
例8.
求 A = [ 1 0 − 1 2 1 2 3 1 0 − 1 1 3 2 − 2 − 2 0 − 3 − 3 4 − 3 ] A=\left[\begin{matrix}1&0&-1&2&1\\2&3&1&0&-1\\1&3&2&-2&-2\\0&-3&-3&4&-3\end{matrix}\right] A=⎣⎢⎢⎡​1210​033−3​−112−3​20−24​1−1−2−3​⎦⎥⎥⎤​的满秩分解
A → [ 1 0 − 1 2 1 2 3 1 0 − 1 1 3 2 − 2 − 2 0 − 3 − 3 4 − 3 ] → [ 1 0 − 1 0 1 0 1 1 0 − 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 ] A\rightarrow\left[\begin{matrix}1&0&-1&2&1\\2&3&1&0&-1\\1&3&2&-2&-2\\0&-3&-3&4&-3\end{matrix}\right]\rightarrow\left[\begin{matrix}1&0&-1&0&1\\0&1&1&0&-1\\0&0&0&1&0\\0&0&0&0&0\end{matrix}\right] A→⎣⎢⎢⎡​1210​033−3​−112−3​20−24​1−1−2−3​⎦⎥⎥⎤​→⎣⎢⎢⎡​1000​0100​−1100​0010​1−100​⎦⎥⎥⎤​
A = [ 1 0 2 2 3 0 1 3 − 2 0 − 3 4 ] [ 1 0 − 1 0 1 0 1 1 0 − 1 0 0 0 1 0 ] A=\left[\begin{matrix}1&0&2\\2&3&0\\1&3&-2\\0&-3&4\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}1&0&-1&0&1\\0&1&1&0&-1\\0&0&0&1&0\end{matrix}\right] A=⎣⎢⎢⎡​1210​033−3​20−24​⎦⎥⎥⎤​⎣⎡​100​010​−110​001​1−10​⎦⎤​

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