线性代数学习笔记7

第二十六集　　对称矩阵及正定性

对称矩阵
对称矩阵$A=A^{T}$ 的特征值为实数，具有完全正交的特征向量。
这里的“有”，是指可以选出一套完全正交的特征向量。通常情况下，如果特征值互不相同，那么每个特征值的特征向量是在一条线上（特征向量空间是一维的），那些线是垂直的。但是如果特征值重复，那就有一整个平面的特征向量，在那个平面上，我们可以选择垂直的向量（比如单位矩阵）。
如果A 具有n 个线性无关的特征向量，可以对角化得到$A=SΛS ^{-1}$。而对于对称矩阵，$A=QΛQ^{-1}=QΛQ^{T}$，其中Q 为正交矩阵，列向量为标准正交基（见线性代数学习笔记4），这个公式本身还显示了矩阵的对称性（$A=QΛQ^{T}=(QΛQ^{T})^{T}=A^{T}$）。
矩阵能够进行这种分解，在数学上称为“谱定理”，“谱”是指矩阵特征值的集合，在物理上称之为“主轴定理”。
证明实特征值
实数矩阵A 具有特征值$\lambda$和特征向量x，则有$Ax=\lambda x$。如果一个实矩阵有一个复数特征值$\lambda$和一个复数特征向量$x$，则它必然有其共轭特征值$\bar{\lambda }$和共轭特征向量$\bar{x}$，即其共轭复数满足 Ax¯=λ

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