高等数学：海伦公式证明
海伦公式又译作希伦公式、海龙公式、希罗公式、海伦－秦九韶公式。它是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式。表达式为：
S = p ( p − a ) ( p − b ) ( p − c ) S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} S=p(p−a)(p−b)(p−c)其中 p = a + b + c 2 p=\frac{a+b+c}{2} p=2a+b+c
它的特点是形式漂亮，便于记忆。
相传这个公式最早是由古希腊数学家阿基米德得出的，而因为这个公式最早出现在海伦的著作《测地术》中，所以被称为海伦公式。中国秦九韶也得出了类似的公式，称三斜求积术。
如图，对于任意一个三角形，有
① h 2 = a 2 − x 2 ② ( c − x ) 2 + h 2 = b 2 h^{2}=a^{2}-x^{2} ② (c-x)^{2}+h^{2}=b^{2} h2=a2−x2②(c−x)2+h2=b2
将①带入②得：
( c − x ) 2 + a 2 − x 2 = b 2 (c-x)^{2}+a^{2}-x^{2}=b^{2} (c−x)2+a2−x2=b2 c 2 − 2 c x + a 2 = b 2 c^{2}-2cx+a^{2}=b^{2} c2−2cx+a2=b2 x = c 2 + a 2 − b 2 2 c x=\frac{c^{2}+a^{2}-b^{2}}{2c} x=2cc2+a2−b2代入①得：
h = a 2 − ( c 2 + a 2 − b 2 2 c ) 2 h=\sqrt{a^{2}-(\frac{c^{2}+a^{2}-b^{2}}{2c})^{2}} h=a2−(2cc2+a2−b2)2
则 S = 1 2 c a 2 − ( c 2 + a 2 − b 2 2 c ) 2 S=\frac{1}{2}c\sqrt{a^{2}-(\frac{c^{2}+a^{2}-b^{2}}{2c})^{2}} S=21ca2−(2cc2+a2−b2)2 S = c 2 4 a 2 − ( c 2 + a 2 − b 2 2 c ) 2 S=\sqrt{\frac{c^{2}}{4}}\sqrt{a^{2}-(\frac{c^{2}+a^{2}-b^{2}}{2c})^{2}} S=4c2a2−(2cc2+a2−b2)2
S = c 2 a 2 4 − c 2 4 × ( c 2 + a 2 − b 2 ) 2 4 c 2 S=\sqrt{\frac{c^{2}a^{2}}{4}-\frac{c^{2}}{4}\times\frac{(c^{2}+a^{2}-b^{2})^{2}}{4c^{2}}} S=4c2a2−4c2×4c2(c2+a2−b2)2
S = c 2 a 2 4 − ( c 2 + a 2 − b 2 ) 2 4 2 S=\sqrt{\frac{c^{2}a^{2}}{4}-\frac{(c^{2}+a^{2}-b^{2})^{2}}{4^{2}}} S=4c2a2−42(c2+a2−b2)2
S = ( c a 2 + c 2 + a 2 − b 2 4 ) ( c a 2 − c 2 + a 2 − b 2 4 ) S=\sqrt{(\frac{ca}{2}+\frac{c^{2}+a^{2}-b^{2}}{4})(\frac{ca}{2}-\frac{c^{2}+a^{2}-b^{2}}{4})} S=(2ca+4c2+a2−b2)(2ca−4c2+a2−b2)（平方差）
S = ( 2 c a + c 2 + a 2 − b 2 4 ) ( 2 c a − ( c 2 + a 2 − b 2 ) 4 ) S=\sqrt{(\frac{2ca+c^{2}+a^{2}-b^{2}}{4})(\frac{2ca-(c^{2}+a^{2}-b^{2})}{4})} S=(42ca+c2+a2−b2)(42ca−(c2+a2−b2)) S = ( ( c + a ) 2 − b 2 4 ) ( b 2 − ( c − a ) 2 4 ) S=\sqrt{(\frac{(c+a)^{2}-b^{2}}{4})(\frac{b^{2}-(c-a)^{2}}{4})} S=(4(c+a)2−b2)(4b2−(c−a)2) S = ( ( c + a + b ) ( c + a − b ) 4 ) ( ( b + c − a ) ( b − c + a ) 4 ) S=\sqrt{(\frac{(c+a+b)(c+a-b)}{4})(\frac{(b+c-a)(b-c+a)}{4})} S=(4(c+a+b)(c+a−b))(4(b+c−a)(b−c+a)) S = ( c + a + b 2 ) ( c + a − b 2 ) ( b + c − a 2 ) ( b − c + a 2 ) S=\sqrt{(\frac{c+a+b}{2})(\frac{c+a-b}{2})(\frac{b+c-a}{2})(\frac{b-c+a}{2})} S=(2c+a+b)(2c+a−b)(2b+c−a)(2b−c+a)
S = ( a + b + c 2 ) ( a + b + c 2 − b ) ( a + b + c 2 − a ) ( a + b + c 2 − c ) S=\sqrt{(\frac{a+b+c}{2})(\frac{a+b+c}{2}-b)(\frac{a+b+c}{2}-a)(\frac{a+b+c}{2}-c)} S=(2a+b+c)(2a+b+c−b)(2a+b+c−a)(2a+b+c−c)
这就完成了我们的证明，这个证明本身没有任何的思考难度，不过最后算面积的过程可以用来训练我们的计算能力（如果你是初一生啊什么的，需要训练公式运用）
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