命题逻辑＜2＞——命题逻辑的真值演算

索引

• $\S 2$ 命题逻辑的真值演算
• • 逻辑等价
  • • 定义2.1 逻辑等价(等值)
    • 逻辑等价式公式
    • 定义2.2 逻辑蕴涵
    • 逻辑蕴涵式公式
    • 定理2.1
  • 演算规则
  • • 定理2.2 代入原理
    • 定理2.3 替换原理
    • 定义2.3 对偶式
    • 定理2.4 对偶原理

$\S 2$ 命题逻辑的真值演算

逻辑等价

定义2.1 逻辑等价(等值)

若命题公式$A$,$B$满足$A\leftrightarrow B$为重言式,则称$A$与$B$是逻辑等价(等值)的,记为$A\iff B$。

逻辑等价式公式

下面收录一些重要的逻辑等价式公式,用于逻辑等价式之间的相互转化。真命题记为$T$,假命题记为$F$。

1. 双重否定律$A\iff \neg \neg A$
2. 幂等律$A\iff A\vee A$;$A\iff A\wedge A$
3. 交换律$A\vee B\iff B\vee A$;$A\wedge B\iff B\wedge A$
4. 结合律$\left(A\vee B\right)\vee C\iff A\vee \left(B\vee C\right)$;$\left(A\wedge B\right)\wedge C\iff A\wedge \left(B\wedge C\right)$
5. 分配律$A\vee \left(B\wedge C\right)\iff \left(A\vee B\right)\wedge \left(A\vee C\right)$;$A\wedge \left(B\vee C\right)\iff \left(A\wedge B\right)\vee \left(A\wedge C\right)$
6. 反演律(德摩根律)$\neg \left(A\vee B\right)\iff \neg A\wedge \neg B$;$\neg \left(A\wedge B\right)\iff \neg A\vee \neg B$
7. 吸收律$A\vee \left(A\wedge B\right)\iff A$;$A\wedge \left(A\vee B\right)\iff A$
8. 恒等律$A\wedge T\iff A$;$A\vee F\iff A$
9. 同一律$A\wedge F\iff F$;$A\vee T\iff T$
10. 排中律$A\vee \neg A\iff T$
11. 矛盾律$A\wedge \neg A\iff F$
12. 蕴含等价式$A\to B\iff \neg A\vee B$
13. 双向蕴含等价式$\left(A\leftrightarrow B\right)\iff \left(A\to B\right)\wedge \left(B\to A\right)$
14. 输出律$A\wedge B\to C\iff \left(A\to B\right)\to C$
15. 逆反律$A\to B\iff \neg B\to \neg A$
16. 归谬律$\left(A\to B\right)\wedge \left(A\to \neg B\right)\iff \neg A$。

定义2.2 逻辑蕴涵

若命题公式$A$,$B$满足$A\to B$为重言式,则称$A$逻辑蕴含$B$,记为$A\models B$。推广形式为$\Gamma \models B$,$\Gamma$可以代表公式集合,若一组指派弄真$\Gamma$中每个公式的合取式,则这组指派弄真公式$B$,即$\Gamma$中公式逻辑蕴涵$B$。当 Γ = { A } \Gamma =\left \{ A \right \} Γ={A}时,$A\models B$,当$\Gamma =\varnothing$时,$B$为重言式,记为$\models B$。

逻辑蕴涵式公式

下面收录一些重要的逻辑蕴含式公式,用于逻辑蕴含式之间的相互转化。

1. $A\models A\vee B$;$B\models A\wedge B$
2. $A\wedge B\models A$;$A\vee B\models B$
3. $A\wedge \left(A\to B\right)\models B$;$\neg B\wedge \left(A\to B\right)\models \neg A$
4. $\neg A\wedge \left(A\vee B\right)\models B;\neg B\wedge \left(A\vee B\right)\models A$
5. $\left(A\to B\right)\wedge \left(B\to C\right)\models A\to C$
6. $\left(A\to B\right)\wedge \left(C\to D\right)\models \left(A\to C\right)\to \left(B\to D\right)$
7. $\left(A\leftrightarrow B\right)\wedge \left(B\leftrightarrow C\right)\models A\leftrightarrow C$。

定理2.1

逻辑等价满足自反性,对称性,传递性;逻辑蕴涵满足自反性,传递性,逆反律,以及等式两边可以用等价式代换。

1. $A\iff B$,当且仅当$B\iff A$
2. $A\iff B$,$B\iff C$,则$A\iff C$
3. $A\models B$,$B\models C$,则$A\models C$
4. $A\models B$当且仅当$\neg B\models \neg A$
5. A ⇔ A ′ A\Leftrightarrow A^{\prime } A⇔A′, B ⇔ B ′ B\Leftrightarrow B^{\prime } B⇔B′,$A\models B$,则 A ′ ⊨ B ′ A^{\prime }\models B^{\prime } A′⊨B′。

演算规则

定理2.2 代入原理

设$A$永真,$p$为命题变元,则$A\left(B/p\right)$代表将$A$中所有出现$p$的位置替换为$B$,称为$A$的一个代入实例,则$A\left(B/p\right)$也永真。

定理2.3 替换原理

设命题公式$A$中截取的子公式$C$满足$C\iff D$,若将$A$中子公式$C$的某些出现位置替换为$D$,则替换后的公式$D$满足$A\iff B$。

定义2.3 对偶式

设命题公式$A$中只使用联结词集合 { ¬ , ∨ , ∧ } \left \{ \neg ,\vee ,\wedge \right \} {¬,∨,∧},则运用以下替换规则:

1. $\vee /\wedge$
2. $\wedge /\vee$
3. $T/F$
4. $F/T$。

可以得到$A$的对偶 A ∗ A^{\ast } A∗。

定理2.4 对偶原理

对偶式相关的两个结论:
(1)
设命题公式$A$中只使用联结词集合 { ¬ , ∨ , ∧ } \left \{ \neg ,\vee ,\wedge \right \} {¬,∨,∧},且有命题变元 { p 1 , p 2 , … , p i , … , p n ∣ i , n ∈ N + , 1 ≤ i ≤ n } \left \{ p_{1},p_{2},\dots, p_{i},\dots , p_{n} \mid i,n\in \mathbb{N^{+},1\le i \le n } \right \} {p1​,p2​,…,pi​,…,pn​∣i,n∈N+,1≤i≤n},则 A ⇔ ¬ A ∗ ( ¬ p 1 / p 1 , ¬ p 2 / p 2 , … , ¬ p i / p i , … , ¬ p n / p n ) A \Leftrightarrow \neg A^{\ast } \left (\neg p_{1}/p_{1} ,\neg p_{2}/p_{2},\dots, \neg p_{i}/p_{i},\dots ,\neg p_{n}/p_{n} \right ) A⇔¬A∗(¬p1​/p1​,¬p2​/p2​,…,¬pi​/pi​,…,¬pn​/pn​)。
(2)
设命题公式$B$中也只使用联结词集合 { ¬ , ∨ , ∧ } \left \{ \neg ,\vee ,\wedge \right \} {¬,∨,∧},且有命题变元 { p 1 , p 2 , … , p i , … , p n ∣ i , n ∈ N + , 1 ≤ i ≤ n } \left \{ p_{1},p_{2},\dots, p_{i},\dots , p_{n} \mid i,n\in \mathbb{N^{+},1\le i \le n } \right \} {p1​,p2​,…,pi​,…,pn​∣i,n∈N+,1≤i≤n},$A$,$B$均满足$A\models B$,则满足 B ∗ ⊨ A ∗ B^{\ast } \models A^{\ast } B∗⊨A∗,进而$A\iff B$能推出 A ∗ ⇔ B ∗ A^{\ast } \Leftrightarrow B^{\ast } A∗⇔B∗。 B ∗ ⊨ A ∗ B^{\ast } \models A^{\ast } B∗⊨A∗, A ∗ ⇔ B ∗ A^{\ast } \Leftrightarrow B^{\ast } A∗⇔B∗称为$A\models B$,$A\iff B$的对偶式。
证明(1)
对(1)的证明采用结构归纳法,对公式$A$中的除括号外符号总数$k$进行归纳,
Step 1
$k=1$,设公式$A$中只有命题变元 p 1 , p 2 , … , p i , … , p n p_{1},p_{2},\dots, p_{i},\dots , p_{n} p1​,p2​,…,pi​,…,pn​或真命题$T$,假命题$F$,对以下情况分类讨论:
2. A ⇔ p i A\Leftrightarrow p_{i} A⇔pi​
¬ A ∗ ( ¬ p 1 / p 1 , ¬ p 2 / p 2 , … , ¬ p i / p i , … , ¬ p n / p n ) ⇔ ¬ ¬ p i ⇔ p i \begin{array}{l} & \neg A^{\ast } \left (\neg p_{1}/p_{1} ,\neg p_{2}/p_{2},\dots, \neg p_{i}/p_{i},\dots ,\neg p_{n}/p_{n} \right ) \\ \Leftrightarrow & \neg \neg p_{i} \\ \Leftrightarrow & p_{i} \end{array} ⇔⇔​¬A∗(¬p1​/p1​,¬p2​/p2​,…,¬pi​/pi​,…,¬pn​/pn​)¬¬pi​pi​​
3. $A\iff T$
¬ A ∗ ( ¬ p 1 / p 1 , ¬ p 2 / p 2 , … , ¬ p i / p i , … , ¬ p n / p n ) ⇔ ¬ F ⇔ T \begin{array}{l} &\neg A^{\ast } \left (\neg p_{1}/p_{1} ,\neg p_{2}/p_{2},\dots, \neg p_{i}/p_{i},\dots ,\neg p_{n}/p_{n} \right ) \\ \Leftrightarrow & \neg F \\ \Leftrightarrow & T \end{array} ⇔⇔​¬A∗(¬p1​/p1​,¬p2​/p2​,…,¬pi​/pi​,…,¬pn​/pn​)¬FT​
4. $A\iff F$
¬ A ∗ ( ¬ p 1 / p 1 , ¬ p 2 / p 2 , … , ¬ p i / p i , … , ¬ p n / p n ) ⇔ ¬ T ⇔ F \begin{array}{l} &\neg A^{\ast } \left (\neg p_{1}/p_{1} ,\neg p_{2}/p_{2},\dots, \neg p_{i}/p_{i},\dots ,\neg p_{n}/p_{n} \right ) \\ \Leftrightarrow & \neg T \\ \Leftrightarrow & F \end{array} ⇔⇔​¬A∗(¬p1​/p1​,¬p2​/p2​,…,¬pi​/pi​,…,¬pn​/pn​)¬TF​

结论是对$k=1$(1)均成立。

Step 2
设(1)对所有除括号外符号总数小于$k-1$的情形都成立,下证除括号外符号总数等于$k$时(1)也成立。
因为命题公式$A$中只使用联结词集合 { ¬ , ∨ , ∧ } \left \{ \neg ,\vee ,\wedge \right \} {¬,∨,∧},所以将$A$化为以下可能的子公式 A 1 A_{1} A1​, A 2 A_{2} A2​的复合:

1. A ⇔ ¬ A 1 A\Leftrightarrow \neg A_{1} A⇔¬A1​
   因为 ∣ A 1 ∣ < k \left | A_{1} \right | ∣A1​∣<k,所以对 A 1 A_{1} A1​使用归纳假设 A 1 ⇔ ¬ A 1 ∗ ( ¬ p 1 / p 1 , ¬ p 2 / p 2 , … , ¬ p i / p i , … , ¬ p n / p n ) A_{1} \Leftrightarrow \neg A^{\ast }_{1} \left (\neg p_{1}/p_{1} ,\neg p_{2}/p_{2},\dots, \neg p_{i}/p_{i},\dots ,\neg p_{n}/p_{n} \right ) A1​⇔¬A1∗​(¬p1​/p1​,¬p2​/p2​,…,¬pi​/pi​,…,¬pn​/pn​);
   又有 A ∗ ⇔ ¬ A 1 ∗ A^{\ast } \Leftrightarrow \neg A_{1}^{\ast } A∗⇔¬A1∗​,
   A ⇔ ¬ A 1 ⇔ ¬ ( ¬ A 1 ∗ ( ¬ p 1 / p 1 , ¬ p 2 / p 2 , … , ¬ p i / p i , … , ¬ p n / p n ) ) ( 归纳假设 ) ⇔ ¬ ( ( ¬ A 1 ) ∗ ( ¬ p 1 / p 1 , ¬ p 2 / p 2 , … , ¬ p i / p i , … , ¬ p n / p n ) ) ⇔ ¬ A ∗ ( ¬ p 1 / p 1 , ¬ p 2 / p 2 , … , ¬ p i / p i , … , ¬ p n / p n ) \begin{array}{l} &A & \\ \Leftrightarrow& \neg A_{1} & \\ \Leftrightarrow& \neg \left ( \neg A^{\ast }_{1} \left (\neg p_{1}/p_{1} ,\neg p_{2}/p_{2},\dots, \neg p_{i}/p_{i},\dots ,\neg p_{n}/p_{n} \right ) \right ) & (归纳假设) \\ \Leftrightarrow & \neg \left ( \left ( \neg A_{1} \right )^{\ast } \left (\neg p_{1}/p_{1} ,\neg p_{2}/p_{2},\dots, \neg p_{i}/p_{i},\dots ,\neg p_{n}/p_{n} \right ) \right ) & \\ \Leftrightarrow & \neg A^{\ast } \left (\neg p_{1}/p_{1} ,\neg p_{2}/p_{2},\dots, \neg p_{i}/p_{i},\dots ,\neg p_{n}/p_{n} \right ) \end{array} ⇔⇔⇔⇔​A¬A1​¬(¬A1∗​(¬p1​/p1​,¬p2​/p2​,…,¬pi​/pi​,…,¬pn​/pn​))¬((¬A1​)∗(¬p1​/p1​,¬p2​/p2​,…,¬pi​/pi​,…,¬pn​/pn​))¬A∗(¬p1​/p1​,¬p2​/p2​,…,¬pi​/pi​,…,¬pn​/pn​)​(归纳假设)​
2. A ⇔ A 1 ∨ A 2 A\Leftrightarrow A_{1} \vee A_{2} A⇔A1​∨A2​
   因为 ∣ A 1 ∣ < k \left | A_{1} \right | ∣A1​∣<k, ∣ A 2 ∣ < k \left | A_{2} \right | ∣A2​∣<k,所以对 A 1 A_{1} A1​, A 2 A_{2} A2​使用归纳假设 A 1 ⇔ ¬ A 1 ∗ ( ¬ p 1 / p 1 , ¬ p 2 / p 2 , … , ¬ p i / p i , … , ¬ p n / p n ) A_{1} \Leftrightarrow \neg A^{\ast }_{1} \left (\neg p_{1}/p_{1} ,\neg p_{2}/p_{2},\dots, \neg p_{i}/p_{i},\dots ,\neg p_{n}/p_{n} \right ) A1​⇔¬A1∗​(¬p1​/p1​,¬p2​/p2​,…,¬pi​/pi​,…,¬pn​/pn​), A 2 ⇔ ¬ A 2 ∗ ( ¬ p 1 / p 1 , ¬ p 2 / p 2 , … , ¬ p i / p i , … , ¬ p n / p n ) A_{2} \Leftrightarrow \neg A^{\ast }_{2} \left (\neg p_{1}/p_{1} ,\neg p_{2}/p_{2},\dots, \neg p_{i}/p_{i},\dots ,\neg p_{n}/p_{n} \right ) A2​⇔¬A2∗​(¬p1​/p1​,¬p2​/p2​,…,¬pi​/pi​,…,¬pn​/pn​);
   又有 A ∗ ⇔ A 1 ∗ ∧ A 2 ∗ A^{\ast } \Leftrightarrow A_{1}^{\ast }\wedge A_{2}^{\ast } A∗⇔A1∗​∧A2∗​,
   A ⇔ A 1 ∨ A 2 ⇔ ( ¬ A 1 ∗ ∨ ¬ A 2 ∗ ) ( ¬ p 1 / p 1 , ¬ p 2 / p 2 , … , ¬ p i / p i , … , ¬ p n / p n ) ( 归纳假设 ) ⇔ ¬ ( A 1 ∗ ∧ A 2 ∗ ) ( ¬ p 1 / p 1 , ¬ p 2 / p 2 , … , ¬ p i / p i , … , ¬ p n / p n ) ( 反演律 ) ⇔ ¬ A ∗ ( ¬ p 1 / p 1 , ¬ p 2 / p 2 , … , ¬ p i / p i , … , ¬ p n / p n ) \begin{array}{l} &A & \\ \Leftrightarrow & A_{1} \vee A_{2} & \\ \Leftrightarrow & \left ( \neg A^{\ast }_{1} \vee \neg A^{\ast }_{2} \right ) \left (\neg p_{1}/p_{1} ,\neg p_{2}/p_{2},\dots, \neg p_{i}/p_{i},\dots ,\neg p_{n}/p_{n} \right ) & (归纳假设) \\ \Leftrightarrow & \neg \left ( A^{\ast }_{1} \wedge A^{\ast }_{2} \right ) \left (\neg p_{1}/p_{1} ,\neg p_{2}/p_{2},\dots, \neg p_{i}/p_{i},\dots ,\neg p_{n}/p_{n} \right ) & (反演律) \\ \Leftrightarrow & \neg A^{\ast } \left (\neg p_{1}/p_{1} ,\neg p_{2}/p_{2},\dots, \neg p_{i}/p_{i},\dots ,\neg p_{n}/p_{n} \right ) & \end{array} ⇔⇔⇔⇔​AA1​∨A2​(¬A1∗​∨¬A2∗​)(¬p1​/p1​,¬p2​/p2​,…,¬pi​/pi​,…,¬pn​/pn​)¬(A1∗​∧A2∗​)(¬p1​/p1​,¬p2​/p2​,…,¬pi​/pi​,…,¬pn​/pn​)¬A∗(¬p1​/p1​,¬p2​/p2​,…,¬pi​/pi​,…,¬pn​/pn​)​(归纳假设)(反演律)​
3. A ⇔ A 1 ∧ A 2 A\Leftrightarrow A_{1} \wedge A_{2} A⇔A1​∧A2​
   因为 ∣ A 1 ∣ < k \left | A_{1} \right | ∣A1​∣<k, ∣ A 2 ∣ < k \left | A_{2} \right | ∣A2​∣<k,所以对 A 1 A_{1} A1​, A 2 A_{2} A2​使用归纳假设 A 1 ⇔ ¬ A 1 ∗ ( ¬ p 1 / p 1 , ¬ p 2 / p 2 , … , ¬ p i / p i , … , ¬ p n / p n ) A_{1} \Leftrightarrow \neg A^{\ast }_{1} \left (\neg p_{1}/p_{1} ,\neg p_{2}/p_{2},\dots, \neg p_{i}/p_{i},\dots ,\neg p_{n}/p_{n} \right ) A1​⇔¬A1∗​(¬p1​/p1​,¬p2​/p2​,…,¬pi​/pi​,…,¬pn​/pn​), A 2 ⇔ ¬ A 2 ∗ ( ¬ p 1 / p 1 , ¬ p 2 / p 2 , … , ¬ p i / p i , … , ¬ p n / p n ) A_{2} \Leftrightarrow \neg A^{\ast }_{2} \left (\neg p_{1}/p_{1} ,\neg p_{2}/p_{2},\dots, \neg p_{i}/p_{i},\dots ,\neg p_{n}/p_{n} \right ) A2​⇔¬A2∗​(¬p1​/p1​,¬p2​/p2​,…,¬pi​/pi​,…,¬pn​/pn​);
   又有 A ∗ ⇔ A 1 ∗ ∨ A 2 ∗ A^{\ast } \Leftrightarrow A_{1}^{\ast }\vee A_{2}^{\ast } A∗⇔A1∗​∨A2∗​,
   A ⇔ A 1 ∧ A 2 ⇔ ( ¬ A 1 ∗ ∧ ¬ A 2 ∗ ) ( ¬ p 1 / p 1 , ¬ p 2 / p 2 , … , ¬ p i / p i , … , ¬ p n / p n ) ( 归纳假设 ) ⇔ ¬ ( A 1 ∗ ∨ A 2 ∗ ) ( ¬ p 1 / p 1 , ¬ p 2 / p 2 , … , ¬ p i / p i , … , ¬ p n / p n ) ( 反演律 ) ⇔ ¬ A ∗ ( ¬ p 1 / p 1 , ¬ p 2 / p 2 , … , ¬ p i / p i , … , ¬ p n / p n ) \begin{array}{l} &A & \\ \Leftrightarrow & A_{1} \wedge A_{2}& \\ \Leftrightarrow & \left ( \neg A^{\ast }_{1} \wedge \neg A^{\ast }_{2} \right ) \left (\neg p_{1}/p_{1} ,\neg p_{2}/p_{2},\dots, \neg p_{i}/p_{i},\dots ,\neg p_{n}/p_{n} \right ) & (归纳假设)\\ \Leftrightarrow & \neg \left ( A^{\ast }_{1} \vee A^{\ast }_{2} \right ) \left (\neg p_{1}/p_{1} ,\neg p_{2}/p_{2},\dots, \neg p_{i}/p_{i},\dots ,\neg p_{n}/p_{n} \right ) & (反演律) \\ \Leftrightarrow & \neg A^{\ast } \left (\neg p_{1}/p_{1} ,\neg p_{2}/p_{2},\dots, \neg p_{i}/p_{i},\dots ,\neg p_{n}/p_{n} \right ) & \end{array} ⇔⇔⇔⇔​AA1​∧A2​(¬A1∗​∧¬A2∗​)(¬p1​/p1​,¬p2​/p2​,…,¬pi​/pi​,…,¬pn​/pn​)¬(A1∗​∨A2∗​)(¬p1​/p1​,¬p2​/p2​,…,¬pi​/pi​,…,¬pn​/pn​)¬A∗(¬p1​/p1​,¬p2​/p2​,…,¬pi​/pi​,…,¬pn​/pn​)​(归纳假设)(反演律)​
   结论是对所有的$k$(1)均成立。

证明(2)
A ⇔ ¬ A ∗ ( ¬ p 1 / p 1 , ¬ p 2 / p 2 , … , ¬ p i / p i , … , ¬ p n / p n ) B ⇔ ¬ B ∗ ( ¬ p 1 / p 1 , ¬ p 2 / p 2 , … , ¬ p i / p i , … , ¬ p n / p n ) ( 定理 2.4.1 对偶原理 ) \begin{array}{l} A \Leftrightarrow \neg A^{\ast } \left (\neg p_{1}/p_{1} ,\neg p_{2}/p_{2},\dots, \neg p_{i}/p_{i},\dots ,\neg p_{n}/p_{n} \right ) \\ B \Leftrightarrow \neg B^{\ast } \left (\neg p_{1}/p_{1} ,\neg p_{2}/p_{2},\dots, \neg p_{i}/p_{i},\dots ,\neg p_{n}/p_{n} \right )&(定理2.4.1对偶原理)\\ \end{array} A⇔¬A∗(¬p1​/p1​,¬p2​/p2​,…,¬pi​/pi​,…,¬pn​/pn​)B⇔¬B∗(¬p1​/p1​,¬p2​/p2​,…,¬pi​/pi​,…,¬pn​/pn​)​(定理2.4.1对偶原理)​
$A\models B$可化为如下形式:
¬ A ∗ ( ¬ p 1 / p 1 , … , ¬ p i / p i , … , ¬ p n / p n ) ⊨ ¬ B ∗ ( ¬ p 1 / p 1 , … , ¬ p i / p i , … , ¬ p n / p n ) ( 定理 2.1.5 ) B ∗ ( ¬ p 1 / p 1 , … , ¬ p i / p i , … , ¬ p n / p n ) ⊨ A ∗ ( ¬ p 1 / p 1 , … , ¬ p i / p i , … , ¬ p n / p n ) ( 逆反律 ) B ∗ ( ¬ p 1 / p 1 , … , ¬ p i / p i , … , ¬ p n / p n ) ( ¬ p 1 / p 1 , … , ¬ p i / p i , … , ¬ p n / p n ) ⊨ A ∗ ( ¬ p 1 / p 1 , … , ¬ p i / p i , … , ¬ p n / p n ) ( ¬ p 1 / p 1 , … , ¬ p i / p i , … , ¬ p n / p n ) ( 代入原理 ) B ∗ ( ¬ ¬ p 1 / p 1 , … , ¬ ¬ p i / p i , … , ¬ ¬ p n / p n ) ⊨ A ∗ ( ¬ ¬ p 1 / p 1 , … , ¬ ¬ p i / p i , … , ¬ ¬ p n / p n ) B ∗ ( p 1 / p 1 , … , p i / p i , … , p n / p n ) ⊨ A ∗ ( p 1 / p 1 , … , p i / p i , … , p n / p n ) ( 双重否定律 ) B ∗ ⊨ A ∗ \begin{array}{l} \neg A^{\ast } \left (\neg p_{1}/p_{1} ,\dots, \neg p_{i}/p_{i},\dots ,\neg p_{n}/p_{n} \right ) \models \neg B^{\ast } \left (\neg p_{1}/p_{1} ,\dots, \neg p_{i}/p_{i},\dots ,\neg p_{n}/p_{n} \right ) & (定理2.1.5) \\ B^{\ast } \left (\neg p_{1}/p_{1} ,\dots, \neg p_{i}/p_{i},\dots ,\neg p_{n}/p_{n} \right ) \models A^{\ast } \left (\neg p_{1}/p_{1} ,\dots, \neg p_{i}/p_{i},\dots ,\neg p_{n}/p_{n} \right ) & (逆反律) \\ B^{\ast } \left (\neg p_{1}/p_{1} ,\dots, \neg p_{i}/p_{i},\dots ,\neg p_{n}/p_{n} \right )\left (\neg p_{1}/p_{1} ,\dots, \neg p_{i}/p_{i},\dots ,\neg p_{n}/p_{n} \right ) \\ \models A^{\ast } \left (\neg p_{1}/p_{1} ,\dots, \neg p_{i}/p_{i},\dots ,\neg p_{n}/p_{n} \right )\left (\neg p_{1}/p_{1} ,\dots, \neg p_{i}/p_{i},\dots ,\neg p_{n}/p_{n} \right ) & (代入原理) \\ B^{\ast } \left (\neg \neg p_{1}/p_{1} ,\dots, \neg \neg p_{i}/p_{i},\dots ,\neg \neg p_{n}/p_{n} \right ) \models A^{\ast } \left (\neg \neg p_{1}/p_{1} ,\dots, \neg \neg p_{i}/p_{i},\dots ,\neg \neg p_{n}/p_{n} \right ) \\ B^{\ast } \left ( p_{1}/p_{1} , \dots,p_{i}/p_{i},\dots ,p_{n}/p_{n} \right ) \models A^{\ast } \left ( p_{1}/p_{1} , \dots, p_{i}/p_{i},\dots , p_{n}/p_{n} \right ) & (双重否定律)\\ B^{\ast } \models A^{\ast } \end{array} ¬A∗(¬p1​/p1​,…,¬pi​/pi​,…,¬pn​/pn​)⊨¬B∗(¬p1​/p1​,…,¬pi​/pi​,…,¬pn​/pn​)B∗(¬p1​/p1​,…,¬pi​/pi​,…,¬pn​/pn​)⊨A∗(¬p1​/p1​,…,¬pi​/pi​,…,¬pn​/pn​)B∗(¬p1​/p1​,…,¬pi​/pi​,…,¬pn​/pn​)(¬p1​/p1​,…,¬pi​/pi​,…,¬pn​/pn​)⊨A∗(¬p1​/p1​,…,¬pi​/pi​,…,¬pn​/pn​)(¬p1​/p1​,…,¬pi​/pi​,…,¬pn​/pn​)B∗(¬¬p1​/p1​,…,¬¬pi​/pi​,…,¬¬pn​/pn​)⊨A∗(¬¬p1​/p1​,…,¬¬pi​/pi​,…,¬¬pn​/pn​)B∗(p1​/p1​,…,pi​/pi​,…,pn​/pn​)⊨A∗(p1​/p1​,…,pi​/pi​,…,pn​/pn​)B∗⊨A∗​(定理2.1.5)(逆反律)(代入原理)(双重否定律)​
当$A\iff B$成立时,同理可得 A ∗ ⊨ B ∗ A^{\ast } \models B^{\ast } A∗⊨B∗也成立,所以 A ∗ ⇔ B ∗ A^{\ast } \Leftrightarrow B^{\ast } A∗⇔B∗也成立。

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