2-拉压问题-1

1. 截面法、轴力图

1.1 概念

1. 截面法：求某个截面上的内力，假想用截面将构件剖成两部分，在截开的截面上，用内力代替另一部分对它的作用。
2. 内力：连续地分布在截面各个点上的空间力系，一般情况下可向截面形心简化，合成三个主矢和三个主矩分量
3. 当所有外力均沿杆的轴线方向作用时，杆的横截面上只有沿轴线方向的一个内力分量，这个内力分量称为“轴力” 用表示。
4. 表示轴力沿杆轴线方向变化的图形，称为轴力图

约定：使杆件受拉的轴力为正；受压的轴力为负。

1.2 绘制轴力图的方法与步骤：

• 确定作用在杆件上的外载荷与约束力；
• 根据杆件上作用的载荷以及约束力，轴力图的分段点：在有集中力作用处即为轴力图的分段点；
• 应用截面法，用假想截面从控制面处将杆件截开，在截开的截面上，画出未知轴力，并假设为正方向；对截开的部分杆件建立平衡方程，确定轴力的大小与正负；
• 建立 F n － x F_n－x Fn​－x坐标系，将所求得的轴力值标在坐标系中，画出轴力图。

2. 拉、压杆件横截面上的应力

2.1 应力

2.2 杆件轴力作用下横截面的正应力公式：

2.3 拉伸与压缩杆件斜截面上的应力

theta 角正负号规定：从轴向x方向逆时针转到斜截面外法线方向的夹角为正，反之为负。

杆件承受轴向拉伸或压缩时，横截面上只有正应力；斜截面上则既有正应力又有切应力。而且，对于不同倾角的斜截面，其上的正应力和切应力各不相同。

3. 拉、压杆件的变形分析

3.1 绝对变形$\Delta L$和弹性模量$E$

这是描述弹性范围内杆件承受轴向载荷时力与变形的胡克定律。

其中，FP为作用在杆件两端的载荷；E为杆材料的弹性模量，它与正应力具有相同的单位；$EA$称为杆件的拉伸（或压缩）刚度(tensile or compression rigidity );

式中“＋”号表示伸长变形；“－”号表示缩短变形。

当拉、压杆有二个以上的外力作用时，需要先画出轴力图，然后按上式分段计算各段的变形，各段变形的代数和即为杆的总伸长量(或缩短量)：

对于杆件沿长度方向均匀变形的情形，其相对伸长量 Δ l l \frac{\Delta l}{l} lΔl​ 表示轴向变形的程度，是这种情形下杆件的正应变，用 $\Delta l$ 表示。

**泊松比是指材料在单向受拉或受压时，横向正应变与轴向正应变的绝对值的比值，也叫横向变形系数，它是反映材料横向变形的弹性常数 **

弹性模量E，又称杨氏模量，弹性材料的一种最重要、最具特征的力学性质，是物体弹性变形难易程度的表征E表示。定义为理想材料有小形变时应力与相应的应变之比。E以σ单位面积上承受的力表示，单位为 N / m 2 N/m^2 N/m2。

4. 关于加力点附近区域的应力分布

4.1 载荷的非均匀

当杆端承受集中载荷或其它非均匀分布载荷时，杆件并非所有横截面都能保持平面，从而产生均匀的轴向变形。这种情形下，上述正应力公式不是对杆件上的所有横截面都适用。

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4.2 圣维南原理（Saint-Venant principle）

如果杆端两种外加力静力学等效，则距离加力点稍远处，静力学等效对应力分布的影响很小，可以忽略不计。

5. 关于应力集中的概念

5.1 应力集中

几何形状急剧变化处应力局部增大的现象，称为应力集中（stress concentration）。

5.2 应力集中因数

应力集中的程度用应力集中因数描述。应力集中处横截面上的应力最大值与不考虑应力集中时的应力值(称为名义应力)之比，称为应力集中因数(factor of stress concentration)，用K表示：

6. 例题

图示为一 悬挂的等截面混凝土直杆，求在自重作用下杆的内力、应力与变形。已知杆长 L 、 A 、 比 重 γ ( N / m 3 ） 、 E L、A、比重\gamma (N/m^3）、E L、A、比重γ(N/m3）、E。

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