118. （Pascal‘s Triangle）杨辉三角

题目

Given an integer numRows, return the first numRows of Pascal’s triangle.

In Pascal’s triangle, each number is the sum of the two numbers directly above it as shown:

给定一个非负整数 numRows，生成「杨辉三角」的前 numRows 行。

在「杨辉三角」中，每个数是它左上方和右上方的数的和。

Example 1:

Input: numRows = 5
Output: [[1],[1,1],[1,2,1],[1,3,3,1],[1,4,6,4,1]]

示例 1:

输入: numRows = 5
输出: [[1],[1,1],[1,2,1],[1,3,3,1],[1,4,6,4,1]]

Example 2:

Input: numRows = 1
Output: [[1]]

示例 2:

输入: numRows = 1
输出: [[1]]

Constraints:

1 <= numRows <= 30

提示:

1 <= numRows <= 30

解题思路

杨辉三角具有以下性质：

• 每行数字左右对称，由 1 开始逐渐变大再变小，并最终回到 1。
• 第 n 行（从 0 开始编号）的数字有 n+1 项，前 n 行共有 n ( n + 1 ) 2 \frac{n(n+1)}{2} 2n(n+1)​个数。
• 第 n 行的第 m 个数（从 0 开始编号）可表示为可以被表示为组合数$C(n,m)$，记作 C n m {C}_n^m Cnm​ 或 ( n m ) ({}_n^m) (nm​)，即为从 n个不同元素中取 m 个元素的组合数。我们可以用公式来表示它： C n m = n ! m ! × ( n − m ) ! {C}_n^m=\frac{n!}{m!×(n−m)!} Cnm​=m!×(n−m)!n!​
• 每个数字等于上一行的左右两个数字之和，可用此性质写出整个杨辉三角。即第 n 行的第 i 个数等于第 n-1 行的第 i-1个数和第 i 个数之和。这也是组合数的性质之一，即 C n i = C n − 1 i + C n − 1 i − 1 {C}_n^i={C}_{n-1}^i+{C}_{n-1}^{i-1} Cni​=Cn−1i​+Cn−1i−1​的展开式（二项式展开）中的各项系数依次对应杨辉三角的第 n 行中的每一项。

根据性质 4，当我们计算出第 i 行的值，我们就可以在线性时间复杂度内计算出第 i+1 行的值。

Python代码

class Solution:def generate(self, numRows: int) -> List[List[int]]:res = list()for i in range(numRows):row = list()for j in range(0, i + 1):if j == 0 or j == i:row.append(1)else:row.append(res[i - 1][j] + res[i - 1][j - 1])res.append(row)return res

Java代码

class Solution {public List<List<Integer>> generate(int numRows) {List<List<Integer>> res = new ArrayList<List<Integer>>();for (int i = 0; i < numRows; ++i) {List<Integer> row = new ArrayList<Integer>();for (int j = 0; j <= i; ++j) {if (j == 0 || j == i) {row.add(1);} else {row.add(res.get(i - 1).get(j - 1) + res.get(i - 1).get(j));}}res.add(row);}return res;}
}

C++代码

class Solution {
public:vector<vector<int>> generate(int numRows) {vector<vector<int>> res(numRows);for(int i = 0; i < numRows; ++i) {res[i].resize(i + 1); res[i][0] = res[i][i] = 1; // 首尾都为1for(int j = 1; j < i; ++j) {res[i][j] = res[i - 1][j] + res[i - 1][j - 1]; // 每个数字等于左右两个数字之和}}return res;}
};

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