【高等数学】导数与微分1

本文还有第二部分，包含隐函数及由参数方程所确定的函数的导数、函数的微分

文章目录

• 导数的概念
• • 一、导数的概念
  • 二、单侧导数
  • 三、导数的几何意义
  • 四、导数的应用
  • 五、导数的性质
• 函数求导法则
• • 一、基本求导公式
  • 二、函数和、差、积、商的求导法则
  • 三、反函数的求导法则
  • 四、复合函数求导法则
  • 五、分段函数求导法则
• 高阶导数
• • 一、高阶导数的定义
  • 二、高阶导数的求法
  • • 1. 归纳法
    • 2. 分解法
    • 3. 莱布尼茨法则

导数的概念

一、导数的概念

设函数$y=f(x)$在点 x 0 x_0 x0​的某个邻域内有定义，当自变量$x$在 x 0 x_0 x0​处取得增量$\Delta x$（点 x 0 + Δ x x_0+\Delta x x0​+Δx仍在该邻域内）时，相应的因变量取得增量 Δ y = f ( x 0 + Δ x ) − f ( x 0 ) \Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0) Δy=f(x0​+Δx)−f(x0​)；如果$\Delta y$与$\Delta x$之比当$\Delta x\to 0$时极限存在，那么称函数$y=f(x)$在点 x 0 x_0 x0​处可导，并称这个极限为函数$y=f(x)$在点 x 0 x_0 x0​处的导数，记为 f ′ ( x 0 ) f'(x_0) f′(x0​)，即
f ′ ( x 0 ) = lim ⁡ Δ x → 0 Δ y Δ x = lim ⁡ Δ x → 0 f ( x 0 + Δ x ) − f ( x 0 ) Δ x f'(x_0)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} f′(x0​)=Δx→0lim​ΔxΔy​=Δx→0lim​Δxf(x0​+Δx)−f(x0​)​
也可记作 y ′ ∣ x = x 0 y'\Big|_{x=x_0} y′∣ ∣​x=x0​​， d y d x ∣ x = x 0 \frac{dy}{dx}\Big|_{x=x_0} dxdy​∣ ∣​x=x0​​或 d f ( x ) d x ∣ x = x 0 \frac{df(x)}{dx}\Big|_{x=x_0} dxdf(x)​∣ ∣​x=x0​​

导数的定义式有两种不同的形式

• f ′ ( x 0 ) = lim ⁡ h → 0 f ( x 0 + h ) − f ( x 0 ) h f'(x_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} f′(x0​)=limh→0​hf(x0​+h)−f(x0​)​

• f ′ ( x 0 ) = lim ⁡ x → x 0 f ( x ) − f ( x 0 ) x − x 0 f'(x_0)=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} f′(x0​)=limx→x0​​x−x0​f(x)−f(x0​)​

例1：求函数 f ( x ) = x n ( x ∈ N + ) f(x)=x^n(x\in N_+) f(x)=xn(x∈N+​)的导数

当n=1时
f ′ ( x ) = lim ⁡ n → 0 f ( x + h ) − f ( x ) h = lim ⁡ h → 0 ( x + h ) − x h = 1 f'(x)=\lim_{n\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{h\to0}\frac{(x+h)-x}h=1 f′(x)=n→0lim​hf(x+h)−f(x)​=h→0lim​h(x+h)−x​=1
当n>1时
f ′ ( x ) = lim ⁡ n → 0 f ( x + h ) − f ( x ) h = lim ⁡ h → 0 ( x + h ) n − x n h = lim ⁡ h → 0 C n 0 x n + C n 2 x n − 1 h + ⋯ + C − n n h n − x n h = lim ⁡ h → 0 C n 1 x n − 1 + C n 2 x n − 2 h + ⋯ + C n n h n − 1 = n x n − 1 \begin{aligned}f'(x)&=\lim_{n\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\\&=\lim_{h\to0}\frac{(x+h)^n-x^n}{h}\\&=\lim_{h\to0}\frac{C_n^0x^n+C_n^2x^{n-1}h+\cdots+C-n^nh^n-x^n}{h}\\&=\lim_{h\to0}C^1_nx^{n-1}+C^2_nx^{n-2}h+\cdots+C^n_nh^{n-1}\\&=nx^{n-1}\end{aligned} f′(x)​=n→0lim​hf(x+h)−f(x)​=h→0lim​h(x+h)n−xn​=h→0lim​hCn0​xn+Cn2​xn−1h+⋯+C−nnhn−xn​=h→0lim​Cn1​xn−1+Cn2​xn−2h+⋯+Cnn​hn−1=nxn−1​
例2：求幂函数 f ( x ) = x μ ( μ ∈ R ) f(x)=x^\mu(\mu\in R) f(x)=xμ(μ∈R)的导数
f ′ ( x ) = lim ⁡ h → 0 f ( x + h ) + − f ( x ) h = lim ⁡ h → 0 ( x + h ) μ − x μ h = lim ⁡ h → 0 x μ [ ( 1 + h x ) μ − 1 ] h = x μ lim ⁡ h → 0 μ h x h = μ x μ − 1 \begin{aligned}f'(x)&=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)+-f(x)}{h}\\&=\lim_{h\to0}\frac{(x+h)^\mu-x^\mu}{h}\\&=\lim_{h\to0}\frac{x^\mu[(1+\frac hx)^\mu-1]}h\\&=x^\mu\lim_{h\to0}\frac{\mu\frac hx}h=\mu x^{\mu-1}\end{aligned} f′(x)​=h→0lim​hf(x+h)+−f(x)​=h→0lim​h(x+h)μ−xμ​=h→0lim​hxμ[(1+xh​)μ−1]​=xμh→0lim​hμxh​​=μxμ−1​
例3，求函数$f(x)=sinx$的导数
f ′ ( x ) = lim ⁡ h → 0 f ( x + h ) − f ( x ) h = lim ⁡ h → 0 sin ⁡ ( x + h ) − sin ⁡ x h = lim ⁡ h → 0 sin ⁡ ( x + h 2 + h 2 ) − sin ⁡ ( x + h 2 − h 2 ) h = lim ⁡ h → 0 sin ⁡ ( x + h 2 ) cos ⁡ h 2 + cos ⁡ ( x + h 2 ) sin ⁡ h 2 − sin ⁡ ( x + h 2 ) cos ⁡ h 2 + cos ⁡ ( x + h 2 ) sin ⁡ h 2 h = lim ⁡ h → 0 2 cos ⁡ ( x + h 2 ) sin ⁡ h 2 h = lim ⁡ h → 0 cos ⁡ ( x + h 2 ) = cos ⁡ x \begin{aligned}f'(x)=&\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}h\\&=\lim_{h\to0}\frac{\sin(x+h)-\sin x}h\\&=\lim_{h\to0}\frac{\sin(x+\frac h2+\frac h2)-\sin(x+\frac h2-\frac h2)}h\\&=\lim_{h\to0}\frac{\sin(x+\frac h2)\cos \frac h2+\cos(x+\frac h2)\sin\frac h2-\sin(x+\frac h2)\cos \frac h2+\cos(x+\frac h2)\sin\frac h2}{h}\\&=\lim_{h\to0}2\frac{\cos(x+\frac h2)\sin \frac h2}h\\&=\lim_{h\to0}\cos(x+\frac h2)\\&=\cos x\end{aligned} f′(x)=​h→0lim​hf(x+h)−f(x)​=h→0lim​hsin(x+h)−sinx​=h→0lim​hsin(x+2h​+2h​)−sin(x+2h​−2h​)​=h→0lim​hsin(x+2h​)cos2h​+cos(x+2h​)sin2h​−sin(x+2h​)cos2h​+cos(x+2h​)sin2h​​=h→0lim​2hcos(x+2h​)sin2h​​=h→0lim​cos(x+2h​)=cosx​
例4：求函数 f ( x ) = a x ( a > 0 , a ≠ 1 ) f(x)=a^x(a>0,a\ne1) f(x)=ax(a>0,a=1)的导数
f ′ ( x ) = lim ⁡ h → 0 f ( x + h ) − f ( x ) h = lim ⁡ h → 0 a x + h − a x h = lim ⁡ h → 0 a x ( a h − 1 ) h = lim ⁡ h → 0 h ln ⁡ a h = a x ln ⁡ a \begin{aligned}f'(x)&=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}h\\&=\lim_{h\to0}\frac{a^{x+h}-a^x}h\\&=\lim_{h\to0}\frac{a^x(a^h-1)}h\\&=\lim_{h\to0}\frac{h\ln a}h\\&=a^x\ln a\end{aligned} f′(x)​=h→0lim​hf(x+h)−f(x)​=h→0lim​hax+h−ax​=h→0lim​hax(ah−1)​=h→0lim​hhlna​=axlna​

二、单侧导数

左导数： f − ′ ( x 0 ) = lim ⁡ h → 0 − f ( x 0 + h ) − f ( x 0 ) h f'_-(x_0)=\lim_{h\to0^-}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}h f−′​(x0​)=limh→0−​hf(x0​+h)−f(x0​)​

右导数： f + ′ ( x 0 ) = lim ⁡ h → 0 + f ( x 0 + h ) − f ( x 0 ) h f'_+(x_0)=\lim_{h\to0^+}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}h f+′​(x0​)=limh→0+​hf(x0​+h)−f(x0​)​

左导数和右导数统称为单侧导数

函数$f(x)$在点 x 0 x_0 x0​处可导的充分必要条件是左导数 f − ′ ( x 0 ) f'_-(x_0) f−′​(x0​)和右导数 f + ′ ( x 0 ) f'_+(x_0) f+′​(x0​)都存在且相等

注意： lim ⁡ x → x 0 − f ′ ( x ) ≠ f − ′ ( x 0 ) \lim_{x\to x_0^-}f'(x)\ne f'_-(x_0) limx→x0−​​f′(x)=f−′​(x0​)。前者是导函数的左极限，后者是左导数

总结来说，左右导数，是函数左右段的实际导数值，若左右导数相等，则函数在该点可导，该导数也是导函数在该点的函数值；而导函数的左右极限，是导函数作为独立函数时求得的函数极限，与原函数联系不大。那么导函数作为一个独立的函数，如果在该点的左右极限相等且等于实际函数值，那么导函数在该点连续。

作者：赵一

链接：https://www.zhihu.com/question/42221580/answer/261181098

个人理解， lim ⁡ x → x 0 f ′ ( x ) , lim ⁡ x → x 0 f ( x ) − f ( x 0 ) x − x 0 \lim_{x\to x_0}f'(x),\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} limx→x0​​f′(x),limx→x0​​x−x0​f(x)−f(x0​)​是两个函数的极限，只是当二者都存在的时候，二者相等。见例5

例5：函数 f ( x ) = { x 2 sin ⁡ 1 x , x ≠ 0 0 , x = 0 f(x)=\left\{\begin{aligned}&x^2\sin\frac1x,&x\ne0\\&0,&x=0\end{aligned}\right. f(x)=⎩ ⎨ ⎧​​x2sinx1​,0,​x=0x=0​，求$f(x)$在$x=0$处的导数，并说明$f(x)$的导函数是否连续

左导数： f − ′ ( 0 ) = lim ⁡ x → 0 − f ( x ) − f ( 0 ) x = lim ⁡ x → 0 − x sin ⁡ 1 x = 0 f'_-(0)=\lim_{x\to 0^-}\frac{f(x)-f(0)}x=\lim_{x\to0^-}x\sin\frac1x=0 f−′​(0)=limx→0−​xf(x)−f(0)​=limx→0−​xsinx1​=0

右导数： f + ′ ( 0 ) = lim ⁡ x → 0 + f ( x ) − f ( 0 ) x = lim ⁡ x → 0 + x sin ⁡ 1 x = 0 f'_+(0)=\lim_{x\to 0^+}\frac{f(x)-f(0)}x=\lim_{x\to0^+}x\sin\frac1x=0 f+′​(0)=limx→0+​xf(x)−f(0)​=limx→0+​xsinx1​=0

∵ f − ′ ( 0 ) = f + ′ ( 0 ) = 0 \because f'_-(0)=f'_+(0)=0 ∵f−′​(0)=f+′​(0)=0， ∴ f ′ ( 0 ) = 0 \therefore f'(0)=0 ∴f′(0)=0，即$f(x)$在$x=0$处的导数为$0$，再求f(x)的导函数

当$x\ne 0$时
f ′ ( x ) = 2 x sin ⁡ 1 x − cos ⁡ 1 x f'(x)=2x\sin\frac1x-\cos\frac1x f′(x)=2xsinx1​−cosx1​
lim ⁡ x → 0 − f ′ ( x ) = lim ⁡ x → 0 − 2 x sin ⁡ 1 x − cos ⁡ 1 x \lim_{x\to0^-}f'(x)=\lim_{x\to0^-}2x\sin\frac1x-\cos\frac1x x→0−lim​f′(x)=x→0−lim​2xsinx1​−cosx1​
极限不存在，同理极限 lim ⁡ x → 0 + f ′ ( x ) \lim_{x\to0^+}f'(x) limx→0+​f′(x)也不存在，故$f(x)$的导函数在$x=0$处不连续

函数可导性与连续性的关系：可导必连续，连续不一定可导

例6：设$f(x)$在$x=a$的某个邻域内有定义，则$f(x)$在$x=a$处可导的一个充分条件是

A： lim ⁡ h → + ∞ h [ f ( a + 1 h ) − f ( a ) ] \lim_{h\to+\infty}h[f(a+\frac1h)-f(a)] limh→+∞​h[f(a+h1​)−f(a)]存在
lim ⁡ h → + ∞ h [ f ( a + 1 h ) − f ( a ) ] = lim ⁡ h → + ∞ f ( a + 1 h ) − f ( a ) 1 h = f + ( a ) \lim_{h\to+\infty}h[f(a+\frac1h)-f(a)]=\lim_{h\to+\infty}\frac{f(a+\frac1h)-f(a)}{\frac1h}=f_+(a) h→+∞lim​h[f(a+h1​)−f(a)]=h→+∞lim​h1​f(a+h1​)−f(a)​=f+​(a)

B： lim ⁡ h → 0 f ( a + h 2 ) − f ( a ) h 2 \lim_{h\to0}\frac{f(a+h^2)-f(a)}{h^2} limh→0​h2f(a+h2)−f(a)​存在
lim ⁡ h → 0 f ( a + h 2 ) − f ( a ) h 2 = f + ( a ) \lim_{h\to0}\frac{f(a+h^2)-f(a)}{h^2}=f_+(a) h→0lim​h2f(a+h2)−f(a)​=f+​(a)
C： lim ⁡ h → 0 f ( a + h ) − f ( a − h ) 2 h \lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a-h)}{2h} limh→0​2hf(a+h)−f(a−h)​存在
lim ⁡ h → 0 f ( a + h ) − f ( a − h ) 2 h = lim ⁡ h → 0 f ( a + h ) − f ( a ) 2 h + lim ⁡ h → 0 f ( a ) − f ( a − h ) 2 h = f ′ ( a ) \lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a-h)}{2h}=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{2h}+\lim_{h\to 0}\frac{f(a)-f(a-h)}{2h}=f'(a) h→0lim​2hf(a+h)−f(a−h)​=h→0lim​2hf(a+h)−f(a)​+h→0lim​2hf(a)−f(a−h)​=f′(a)
这种想法是错误的，只能说明左导数等于右导数（反例 f ( x ) = { 1 , x ≠ a 0 , x ≠ a f(x)=\begin{cases}1,x\ne a\\0,x\ne a\end{cases} f(x)={1,x=a0,x=a​），不能说明可导，甚至不能说明连续，因此上式 ≠ f ′ ( a ) \ne f'(a) =f′(a)

D： lim ⁡ h → 0 f ( a ) − f ( a − h ) h \lim_{h\to0}\frac{f(a)-f(a-h)}h limh→0​hf(a)−f(a−h)​存在
lim ⁡ h → 0 f ( a ) − f ( a − h ) h = lim ⁡ h → 0 f ( a − h ) − f ( a ) − h = f ′ ( a ) \lim_{h\to0}\frac{f(a)-f(a-h)}h=\lim_{h\to0}\frac{f(a-h)-f(a)}{-h}=f'(a) h→0lim​hf(a)−f(a−h)​=h→0lim​−hf(a−h)−f(a)​=f′(a)
当选。其实还要注意该题的思路应该是证明：条件 ⇒ lim ⁡ h → 0 f ( a + h ) − f ( a ) h ⇒ f ′ ( a ) \Rightarrow \lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\Rightarrow f'(a) ⇒limh→0​hf(a+h)−f(a)​⇒f′(a)

三、导数的几何意义

函数$y=f(x)$在点 x 0 x_0 x0​处的导数 f ′ ( x 0 ) f'(x_0) f′(x0​)在几何上表示曲线$y=f(x)$在点 M ( x 0 , f ( x 0 ) ) M(x_0,f(x_0)) M(x0​,f(x0​))处的切线斜率，即 f ′ ( x 0 ) = tan ⁡ α f'(x_0)=\tan\alpha f′(x0​)=tanα，其中$\alpha$是切线的倾角

四、导数的应用

• 切线方程

  曲线$y=f(x)$在点 M ( x 0 , y 0 ) M(x_0,y_0) M(x0​,y0​)处的切线方程为： y − y 0 = f ′ ( x 0 ) ( x − x 0 ) y-y_0=f'(x_0)(x-x_0) y−y0​=f′(x0​)(x−x0​)

• 法线方程

  曲线$y=f(x)$在点 M ( x 0 , y 0 ) M(x_0,y_0) M(x0​,y0​)处的切线方程为： y − y 0 = − 1 f ′ ( x 0 ) ( x − x 0 ) y-y_0=-\frac1{f'(x_0)}(x-x_0) y−y0​=−f′(x0​)1​(x−x0​)

例7：求曲线 y = x 3 2 y=x^{\frac32} y=x23​的通过点$(0,-4)$的切线方程

设切点为 ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0​,y0​)，则切线斜率为
k = y ′ ∣ x = x 0 = 3 2 x 1 2 ∣ x = x 0 = 3 2 x 0 k=y'\Big|_{x=x_0}=\frac32x^{\frac12}\Big|_{x=x_0}=\frac32\sqrt x_0 k=y′∣ ∣​x=x0​​=23​x21​∣ ∣​x=x0​​=23​x ​0​
故切线方程为
y − x 0 3 2 = 3 2 x 0 1 2 ( x − x 0 ) y-x_0^{\frac32}=\frac32x_0^{\frac12}(x-x_0) y−x023​​=23​x021​​(x−x0​)
又$\because$切点过点$(0,-4)$，代入上式，解得 x 0 = 4 x_0=4 x0​=4，故切点方程为$3x-y-4=0$

五、导数的性质

• 连续的奇函数的导函数为偶函数

• 连续的偶函数的导函数为奇函数

• 连续的周期函数的导函数为周期函数

函数求导法则

一、基本求导公式

( C ) ′ = 0 ( x μ ) ′ = μ x μ − 1 ( sin ⁡ x ) ′ = cos ⁡ x ( cos ⁡ x ) ′ = − sin ⁡ x ( tan ⁡ x ) ′ = sec ⁡ 2 x ( cot ⁡ x ) ′ = − c s c 2 x ( sec ⁡ x ) ′ = sec ⁡ x tan ⁡ x ( csc ⁡ x ) ′ = − csc ⁡ x cot ⁡ x ( a x ) ′ = a x ln ⁡ a ( a > 0 , a ≠ 1 ) ( e x ) ′ = e x ( log ⁡ a x ) ′ = 1 x ln ⁡ a ( ln ⁡ x ) ′ = 1 x ( arcsin ⁡ x ) ′ = 1 1 − x 2 ( arccos ⁡ x ) ′ = − 1 1 − x 2 ( arctan ⁡ x ) ′ = 1 1 + x 2 ( arccot x ) ′ = − 1 1 + x 2 \begin{aligned} (C)'&=0\\ (x^\mu)'&=\mu x^{\mu-1}\\ (\sin x)'&=\cos x\\ (\cos x)'&=-\sin x\\ (\tan x)'&=\sec^2x\\ (\cot x)'&=-csc^2x\\ (\sec x)'&=\sec x\tan x\\ (\csc x)'&=-\csc x\cot x\\ (a^x)'&=a^x\ln a(a>0,a\ne1)\\ (e^x)'&=e^x\\ (\log_ax)'&=\frac1{x\ln a}\\ (\ln x)'&=\frac1x\\ (\arcsin x)'&=\frac1{\sqrt{1-x^2}}\\ (\arccos x)'&=-\frac1{\sqrt{1-x^2}}\\ (\arctan x)'&=\frac1{1+x^2}\\ (\text{arccot} x)'&=-\frac1{1+x^2} \end{aligned} (C)′(xμ)′(sinx)′(cosx)′(tanx)′(cotx)′(secx)′(cscx)′(ax)′(ex)′(loga​x)′(lnx)′(arcsinx)′(arccosx)′(arctanx)′(arccotx)′​=0=μxμ−1=cosx=−sinx=sec2x=−csc2x=secxtanx=−cscxcotx=axlna(a>0,a=1)=ex=xlna1​=x1​=1−x2 ​1​=−1−x2 ​1​=1+x21​=−1+x21​​

二、函数和、差、积、商的求导法则

[ u ( x ) ± v ( x ) ] ′ = u ′ ( x ) ± v ′ ( x ) [u(x)\pm v(x)]'=u'(x)\pm v'(x) [u(x)±v(x)]′=u′(x)±v′(x)
[ u ( x ) v ( x ) ] ′ = u ′ ( x ) v ( x ) + u ( x ) v ′ ( x ) [u(x)v(x)]'=u'(x)v(x)+u(x)v'(x) [u(x)v(x)]′=u′(x)v(x)+u(x)v′(x)
[ u ( x ) v ( x ) ] ′ = u ′ ( x ) v ( x ) − u ( x ) v ′ ( x ) v 2 ( x ) ( v ( x ) ≠ 0 ) [\frac{u(x)}{v(x)}]'=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v^2(x)}(v(x)\ne0) [v(x)u(x)​]′=v2(x)u′(x)v(x)−u(x)v′(x)​(v(x)=0)
证明： [ u ( x ) v ( x ) ] ′ = u ′ ( x ) v ( x ) + u ( x ) v ′ ( x ) [u(x)v(x)]'=u'(x)v(x)+u(x)v'(x) [u(x)v(x)]′=u′(x)v(x)+u(x)v′(x)
( u ( x ) v ( x ) ) ′ = lim ⁡ Δ x → 0 u ( x + Δ x ) v ( x + Δ x ) − u ( x ) v ( x ) Δ x = lim ⁡ Δ x → 0 u ( x + Δ x ) v ( x + Δ x ) − v ( x + Δ x ) u ( x ) + v ( x + Δ x ) u ( x ) − u ( x ) v ( x ) Δ x = lim ⁡ Δ x → 0 v ( x + Δ x ) u ( x + Δ x ) − u ( x ) Δ x + lim ⁡ Δ x → 0 u ( x ) v ( x + Δ x ) − v ( x ) Δ x = u ′ ( x ) lim ⁡ Δ x → 0 v ( x + Δ x ) + u ( x ) v ′ ( x ) [ = u ′ ( x ) v ( x ) + v ′ ( x ) u ( x ) ] ( ) \begin{aligned}(u(x)v(x))'&=\lim_{\Delta x\to0}\frac{u(x+\Delta x)v(x+\Delta x)-u(x)v(x)}{\Delta x}\\&=\lim_{\Delta x\to0}\frac{u(x+\Delta x)v(x+\Delta x)-v(x+\Delta x)u(x)+v(x+\Delta x)u(x)-u(x)v(x)}{\Delta x}\\&=\lim_{\Delta x\to0}v(x+\Delta x)\frac{u(x+\Delta x)-u(x)}{\Delta x}+\lim_{\Delta x\to0}u(x)\frac{v(x+\Delta x)-v(x)}{\Delta x}\\&=u'(x)\lim_{\Delta x\to0}v(x+\Delta x)+u(x)v'(x)[\\&=u'(x)v(x)+v'(x)u(x)\end{aligned}]() (u(x)v(x))′​=Δx→0lim​Δxu(x+Δx)v(x+Δx)−u(x)v(x)​=Δx→0lim​Δxu(x+Δx)v(x+Δx)−v(x+Δx)u(x)+v(x+Δx)u(x)−u(x)v(x)​=Δx→0lim​v(x+Δx)Δxu(x+Δx)−u(x)​+Δx→0lim​u(x)Δxv(x+Δx)−v(x)​=u′(x)Δx→0lim​v(x+Δx)+u(x)v′(x)[=u′(x)v(x)+v′(x)u(x)​]()
lim ⁡ Δ x → 0 v ( x + Δ x ) = v ( x ) \lim_{\Delta x\to0}v(x+\Delta x)=v(x) limΔx→0​v(x+Δx)=v(x)，因为可导必连续得到的。作为一个因式可以直接换，如果是加减项就不可以

证明： [ u ( x ) v ( x ) ] ′ = u ′ ( x ) v ( x ) − u ( x ) v ′ ( x ) v 2 ( x ) ( v ( x ) ≠ 0 ) [\frac{u(x)}{v(x)}]'=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v^2(x)}(v(x)\ne0) [v(x)u(x)​]′=v2(x)u′(x)v(x)−u(x)v′(x)​(v(x)=0)
( u ( x ) v ( x ) ) ′ = lim ⁡ Δ x → 0 u ( x + Δ x ) v ( x + Δ x ) − u ( x ) v ( x ) Δ x = lim ⁡ Δ x → 0 u ( x + Δ x ) v ( x ) − v ( x + Δ x ) u ( x ) Δ x ⋅ v ( x ) v ( x + Δ x ) = lim ⁡ Δ x → 0 u ( x + Δ x ) v ( x ) − u ( x ) v ( x ) + u ( x ) v ( x ) − v ( x + Δ x ) u ( x ) Δ x ⋅ v ( x ) v ( x + Δ x ) = lim ⁡ Δ x → 0 v ( x ) u ( x + Δ x ) − u ( x ) Δ x − u ( x ) v ( x + Δ x ) − v ( x ) Δ x Δ x ⋅ v ( x ) v ( x + Δ x ) = u ′ ( x ) v ( x ) − u ( x ) v ′ ( x ) v 2 ( x ) \begin{aligned}(\frac{u(x)}{v(x)})'&=\lim_{\Delta x\to0}\frac{\frac{u(x+\Delta x)}{v(x+\Delta x)}-\frac{u(x)}{v(x)}}{\Delta x}\\&=\lim_{\Delta x\to0}\frac{u(x+\Delta x)v(x)-v(x+\Delta x)u(x)}{\Delta x\cdot v(x)v(x+\Delta x)}\\&=\lim_{\Delta x\to0}\frac{u(x+\Delta x)v(x)-u(x)v(x)+u(x)v(x)-v(x+\Delta x)u(x)}{\Delta x\cdot v(x)v(x+\Delta x)}\\&=\lim_{\Delta x\to0}\frac{v(x)\frac{u(x+\Delta x)-u(x)}{\Delta x}-u(x)\frac{v(x+\Delta x)-v(x)}{\Delta x}}{\Delta x\cdot v(x)v(x+\Delta x)}\\&=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v^2(x)}\end{aligned} (v(x)u(x)​)′​=Δx→0lim​Δxv(x+Δx)u(x+Δx)​−v(x)u(x)​​=Δx→0lim​Δx⋅v(x)v(x+Δx)u(x+Δx)v(x)−v(x+Δx)u(x)​=Δx→0lim​Δx⋅v(x)v(x+Δx)u(x+Δx)v(x)−u(x)v(x)+u(x)v(x)−v(x+Δx)u(x)​=Δx→0lim​Δx⋅v(x)v(x+Δx)v(x)Δxu(x+Δx)−u(x)​−u(x)Δxv(x+Δx)−v(x)​​=v2(x)u′(x)v(x)−u(x)v′(x)​​
主要思路在加减项中，因为$f(x+\Delta x)$和$f(x)$之间不能直接运算，所以要尽量凑成导数形式

三、反函数的求导法则

如果函数$x=f(y)$在区间 I y I_y Iy​内单调、可导且 f ′ ( y ) ≠ 0 f'(y)\ne0 f′(y)=0，那么它的反函数 y = f − 1 ( x ) y=f^{-1}(x) y=f−1(x)在区间I_x= { x ∣ x = f ( y ) , y ∈ I y } \{x|x=f(y),y\in I_y\} {x∣x=f(y),y∈Iy​}内也可导，且
[ f − 1 ( x ) ′ = 1 f ′ ( y ) ] 或 d y d x = 1 d x d y [f^{-1}(x)'=\frac1{f'(y)}]或\frac{dy}{dx}=\frac1{\frac{dx}{dy}} [f−1(x)′=f′(y)1​]或dxdy​=dydx​1​
简单来说：反函数的导数等于直接函数导数的倒数

例1：证明 y ∈ ( − π 2 , π 2 ) y\in(-\frac\pi2,\frac\pi2) y∈(−2π​,2π​)时，函数$y=\arctan x$的导数为 1 1 + x 2 \frac1{1+x^2} 1+x21​

y ∈ ( − π 2 , π 2 ) y\in(-\frac\pi2,\frac\pi2) y∈(−2π​,2π​)时，$y=\arctan x$的反函数为$x=\tan y$，在 ( − π 2 , π 2 ) (-\frac\pi2,\frac\pi2) (−2π​,2π​)内单调可导
( arctan ⁡ x ) ′ = 1 ( tan ⁡ y ) ′ = 1 sec ⁡ 2 y = 1 1 + tan ⁡ 2 y = 1 1 + x 2 (\arctan x)'=\frac1{(\tan y)}'=\frac1{\sec^2y}=\frac1{1+\tan^2y}=\frac1{1+x^2} (arctanx)′=(tany)1​′=sec2y1​=1+tan2y1​=1+x21​
例2：已知函数$x=x(y)$由 y = e x + 2 x + sin ⁡ x y=e^x+2x+\sin x y=ex+2x+sinx所确定，求 d x d y \frac{dx}{dy} dydx​
d x d y = 1 d y d x = 1 e x + 2 x + sin ⁡ x ) ′ = 1 e x + 2 + cos ⁡ x \frac {dx}{dy}=\frac1{\frac {dy}{dx}}=\frac1{e^x+2x+\sin x)'}=\frac1{e^x+2+\cos x} dydx​=dxdy​1​=ex+2x+sinx)′1​=ex+2+cosx1​

四、复合函数求导法则

如果$u=g(x)$在点$x$可导，而$y=f(u)$在$u=g(x)$可导，那么复合函数$y=f[g(x)]$在点$x$可导，且导数为
d y d x = f ′ ( u ) g ′ ( x ) 或 d y d x = d y d u d u d x \frac{dy}{dx}=f'(u)g'(x)或\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\frac{du}{dx} dxdy​=f′(u)g′(x)或dxdy​=dudy​dxdu​

五、分段函数求导法则

方法：在分段点处用导数的定义求分段点的导数

例3：设函数 y = f ( x ) = { x 3 , x ≥ 0 e x 2 − 1 , x < 0 y=f(x)=\begin{cases}x^3,x\geq0\\e^{x^2}-1,x<0\end{cases} y=f(x)={x3,x≥0ex2−1,x<0​，试确定函数在点$x=0$处的导数是否存在，若存在，求 f ′ ( 0 ) f'(0) f′(0)
f + ′ ( 0 ) = lim ⁡ x → 0 + f ( x ) − f ( 0 ) x − 0 = lim ⁡ x → 0 + x 3 − 0 x − 0 = 0 f'_+(0)=\lim_{x\to 0^+}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\to0^+}\frac{x^3-0}{x-0}=0 f+′​(0)=x→0+lim​x−0f(x)−f(0)​=x→0+lim​x−0x3−0​=0
f − ′ ( 0 ) = lim ⁡ x → 0 − f ( x ) − f ( 0 ) x − 0 = lim ⁡ x → 0 − e x 2 − 1 − 0 x − 0 = lim ⁡ x → 0 − x 2 x = 0 f'_-(0)=\lim_{x\to 0^-}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\to0^-}\frac{e^{x^2}-1-0}{x-0}=\lim_{x\to0^-}\frac{x^2}x=0 f−′​(0)=x→0−lim​x−0f(x)−f(0)​=x→0−lim​x−0ex2−1−0​=x→0−lim​xx2​=0
∵ f + ′ ( 0 ) = f − ′ ( 0 ) = 0 \because f'_+(0)=f'_-(0)=0 ∵f+′​(0)=f−′​(0)=0，故 f ′ ( 0 ) = 0 f'(0)=0 f′(0)=0

高阶导数

一、高阶导数的定义

一般地，函数$y=f(x)$的导数 y ′ = f ′ ( x ) y'=f'(x) y′=f′(x)仍然是$x$的函数，我们把 y ′ = f ′ ( x ) y'=f'(x) y′=f′(x)的导数叫做$y=f(x)$的二阶导数，记作 y ′ ′ y'' y′′或 d 2 y d x 2 \frac{d^2y}{dx^2} dx2d2y​，即
y ′ ′ = ( y ′ ) ′ 或 d 2 y d x 2 = d d x ( d y d x ) y''=(y')'或\frac{d^2y}{dx^2}=\frac d{dx}(\frac{dy}{dx}) y′′=(y′)′或dx2d2y​=dxd​(dxdy​)
类似地，二阶导的导数叫做三阶导数，三阶导的导数叫做四阶导数，……，一般地，$(n-1)$阶导的导数叫做$n$阶导数，分别记作
y ′ ′ ′ , y ( 4 ) , ⋯ , y ( n ) 或 d 3 y d x 3 , d 4 y d x 4 , ⋯ , d n y d x n y''',y^{(4)},\cdots,y^{(n)}或\frac{d^3y}{dx^3},\frac{d^4y}{dx^4},\cdots,\frac{d^ny}{dx^n} y′′′,y(4),⋯,y(n)或dx3d3y​,dx4d4y​,⋯,dxndny​
函数$y=f(x)$具有$n$阶导数，也说成函数$f(x)$为$n$阶可导，二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数

二、高阶导数的求法

1. 归纳法

对需要求高阶导数的函数公式按照求导法则多次接连的求导数，在逐次求导的过程中，找到它的某种规律，从而写出高阶导
( e x ) ( n ) = e x ( sin ⁡ x ) ( n ) = sin ⁡ ( x + n π 2 ) ( cos ⁡ x ) ( n ) = cos ⁡ ( x + n π 2 ) y ( n ) = ( − 1 ) n − 1 ⋅ ( n − 1 ) ! ( 1 + x ) n \begin{aligned} (e^x)^{(n)}&=e^x\\ (\sin x)^{(n)}&=\sin(x+n\frac\pi2)\\ (\cos x)^{(n)}&=\cos(x+n\frac\pi2)\\ y^{(n)}&=\frac{(-1)^{n-1}\cdot(n-1)!}{(1+x)^n} \end{aligned} (ex)(n)(sinx)(n)(cosx)(n)y(n)​=ex=sin(x+n2π​)=cos(x+n2π​)=(1+x)n(−1)n−1⋅(n−1)!​​

2. 分解法

将多项式进行有理式的分解后，之后再去应用归纳法

例1：求函数 1 2 x 2 − 3 x − 2 \frac1{2x^2-3x-2} 2x2−3x−21​的$n$阶导数
1 2 x 2 − 3 x − 2 = 1 ( x − 2 ) ( 2 x + 1 ) = A x − 2 + B 2 x + 1 = x ( 2 A + B ) + ( A − 2 B ) ( x − 2 ) ( 2 x + 1 ) \begin{aligned}\frac1{2x^2-3x-2}&=\frac1{(x-2)(2x+1)}\\&=\frac A{x-2}+\frac B{2x+1}\\&=\frac{x(2A+B)+(A-2B)}{(x-2)(2x+1)}\end{aligned} 2x2−3x−21​​=(x−2)(2x+1)1​=x−2A​+2x+1B​=(x−2)(2x+1)x(2A+B)+(A−2B)​​
{ 2 A + B = 0 A − 2 B = 0 \begin{cases}2A+B=0\\A-2B=0\end{cases} {2A+B=0A−2B=0​
解得
{ A = 1 5 B = − 2 5 \begin{cases}A=\frac15\\B=-\frac25\end{cases} {A=51​B=−52​​
因此
1 2 x 2 − 3 x − 2 = 1 5 1 x − 2 − 2 5 1 2 x + 1 ( 1 x − 2 ) ( n ) = ( − 1 ) n n ! ( x − 1 ) n + 1 ( 1 2 x + 1 ) ( n ) = ( − 1 ) n n ! ⋅ 2 n ( 2 x + 1 ) n + 1 ( 1 2 x 2 − 3 x − 2 ) ( n ) = ( − 1 ) n ⋅ n ! 5 [ 1 ( x − 2 ) n + 1 − 2 n + 1 ( 2 x + 1 ) n + 1 ] \begin{aligned} \frac1{2x^2-3x-2}&=\frac15\frac1{x-2}-\frac25\frac1{2x+1}\\ (\frac1{x-2})^{(n)}&=(-1)^n\frac{n!}{(x-1)^{n+1}}\\ (\frac1{2x+1})^{(n)}&=(-1)^n\frac{n!\cdot2^n}{(2x+1)^{n+1}}\\ (\frac1{2x^2-3x-2})^{(n)}&=\frac{(-1)^n\cdot n!}5[\frac1{(x-2)^{n+1}}-\frac{2^{n+1}}{(2x+1)^{n+1}}] \end{aligned} 2x2−3x−21​(x−21​)(n)(2x+11​)(n)(2x2−3x−21​)(n)​=51​x−21​−52​2x+11​=(−1)n(x−1)n+1n!​=(−1)n(2x+1)n+1n!⋅2n​=5(−1)n⋅n!​[(x−2)n+11​−(2x+1)n+12n+1​]​

3. 莱布尼茨法则

如果函数$u=u(x)$与$v=v(x)$都在点$x$处具有$n$阶导数，那么显然$u(x)+v(x)$与$u(x)-v(x)$也在点$x$处具有$n$阶导数，且 [ u ± v ] ( n ) = u ( n ) ± v ( n ) [u\pm v]^{(n)}=u^{(n)}\pm v^{(n)} [u±v](n)=u(n)±v(n)，乘积$u(x)\cdot v(x)$常用莱布尼茨公式，即
( u v ) ( n ) = C n 0 u ( n ) v + C n 1 u ( n − 1 ) v ′ + ⋯ + C n k u ( n − k ) v ( k ) + ⋯ + C n n u v ( n ) (uv)^{(n)}=C^0_nu^{(n)}v+C^1_nu^{(n-1)}v'+\cdots+C^k_nu^{(n-k)}v^{(k)}+\cdots+C^n_nuv^{(n)} (uv)(n)=Cn0​u(n)v+Cn1​u(n−1)v′+⋯+Cnk​u(n−k)v(k)+⋯+Cnn​uv(n)
即
( u v ) ( n ) = ∑ k = 0 n C n k u ( n − k ) v ( k ) (uv)^{(n)}=\sum_{k=0}^nC^k_nu^{(n-k)}v^{(k)} (uv)(n)=k=0∑n​Cnk​u(n−k)v(k)
一般幂函数或者其他高阶导数为$0$的函数作为$v(x)$

例2：求函数 y = x 2 e 2 x y=x^2e^{2x} y=x2e2x的$n$阶导数
y ( n ) = x 2 e 2 x = C n 0 ( e 2 x ) ( n ) ⋅ x 2 + C n 1 ( e 2 x ) ( n − 1 ) ⋅ 2 x + C n 2 ( e 2 x ) ( n − 2 ) ⋅ 2 = x 2 ⋅ 2 n e 2 x + n x ⋅ 2 n e 2 x + n ( n − 1 ) ⋅ 2 n − 2 e 2 x \begin{aligned}y^{(n)}&=x^2e^{2x}=C^0_n(e^{2x})^{(n)}\cdot x^2+C^1_n(e^{2x})^{(n-1)}\cdot2x+C^2_n(e^{2x})^{(n-2)}\cdot2\\&=x^2\cdot2^ne^{2x}+nx\cdot 2^{n}e^{2x}+n(n-1)\cdot2^{n-2}e^{2x}\end{aligned} y(n)​=x2e2x=Cn0​(e2x)(n)⋅x2+Cn1​(e2x)(n−1)⋅2x+Cn2​(e2x)(n−2)⋅2=x2⋅2ne2x+nx⋅2ne2x+n(n−1)⋅2n−2e2x​

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