线性代数｜线性方程组的矩阵形式

对于含有 $n$ 个未知数 x 1 , x 2 , ⋯ , x n x_1,x_2,\cdots,x_n x1​,x2​,⋯,xn​ 的 $n$ 个线性方程的方程组
{ a 11 x 1 + a 12 x 2 + ⋯ a 1 n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + ⋯ a 2 n x n = b 2 ⋯ a m 1 x 1 + a m 2 x 2 + ⋯ a m n x n = b m (1) \begin{cases} a_{11} x_1 + a_{12} x_2 + \cdots a_{1n} x_n = b_1 \\ a_{21} x_1 + a_{22} x_2 + \cdots a_{2n} x_n = b_2 \\ \cdots \\ a_{m1} x_1 + a_{m2} x_2 + \cdots a_{mn} x_n = b_m \end{cases} \tag{1} ⎩ ⎨ ⎧​a11​x1​+a12​x2​+⋯a1n​xn​=b1​a21​x1​+a22​x2​+⋯a2n​xn​=b2​⋯am1​x1​+am2​x2​+⋯amn​xn​=bm​​(1)
有如下几个矩阵
A = ( a i j ) , x = ( x 1 x 2 ⋮ x n ) , b = ( b 1 b 2 ⋮ b m ) , B = ( a 11 a 12 ⋯ a 1 n b 1 a 21 a 22 ⋯ a 2 n b 2 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ a m 1 a m 2 ⋯ a m n b m ) \boldsymbol{A} = (a_{ij}), \hspace{1em} \boldsymbol{x} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}, \hspace{1em} \boldsymbol{b} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_m \end{pmatrix}, \hspace{1em} \boldsymbol{B} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} & b_1 \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} & b_2 \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} & b_m \\ \end{pmatrix} A=(aij​),x= ​x1​x2​⋮xn​​ ​,b= ​b1​b2​⋮bm​​ ​,B= ​a11​a21​⋮am1​​a12​a22​⋮am2​​⋯⋯⋯​a1n​a2n​⋮amn​​b1​b2​⋮bm​​ ​

其中 $\mathbf{A}$ 称为 系数矩阵，$\mathbf{x}$ 称为 未知数矩阵，$\mathbf{b}$ 称为 常数项矩阵，$\mathbf{B}$ 称为 增广矩阵。

方程组 $(1)$ 可以利用矩阵乘法写成矩阵形式：
A m × n x n × 1 = B m × 1 (1’) \boldsymbol{A}_{m \times n} \boldsymbol{x}_{n \times 1} = \boldsymbol{B}_{m \times 1} \tag{1'} Am×n​xn×1​=Bm×1​(1’)
特别当 $\mathbf{b}=0$ 时得到 $m$ 个方程的 $n$ 元齐次线性方程组的矩阵形式
A m × n x n × 1 = 0 m × 1 (2) \boldsymbol{A}_{m \times n} \boldsymbol{x}_{n \times 1} = \boldsymbol{0}_{m \times 1} \tag{2} Am×n​xn×1​=0m×1​(2)

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