导数的定义和介绍

导数定义

设$y=f(x)$在 x 0 x_0 x0​的某个领域内有定义，自变量增量为$\Delta x$，因变量增量为 Δ y = f ( x 0 + Δ x ) − f ( x 0 ) \Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0) Δy=f(x0​+Δx)−f(x0​)，若 lim ⁡ Δ x → 0 = Δ y Δ x = lim ⁡ Δ x → 0 f ( x 0 + Δ x ) − f ( x 0 ) Δ x \lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\dfrac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} Δx→0lim​=ΔxΔy​=Δx→0lim​Δxf(x0​+Δx)−f(x0​)​极限存在，则说明$y=f(x)$在 x 0 x_0 x0​处可导。

定义公式： f ′ ( x 0 ) = lim ⁡ Δ x → 0 f ( x 0 + Δ x ) − f ( x 0 ) Δ x f'(x_0)=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\dfrac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} f′(x0​)=Δx→0lim​Δxf(x0​+Δx)−f(x0​)​或 f ′ ( x 0 ) = lim ⁡ x → x 0 f ( x ) − f ( x 0 ) x − x 0 f'(x_0)=\lim\limits_{x\rightarrow x_0}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} f′(x0​)=x→x0​lim​x−x0​f(x)−f(x0​)​

左导数： f − ′ ( x 0 ) = lim ⁡ Δ x → 0 − f ( x 0 + Δ x ) − f ( x 0 ) Δ x f'_-(x_0)=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0^-}\dfrac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} f−′​(x0​)=Δx→0−lim​Δxf(x0​+Δx)−f(x0​)​

右导数： f + ′ ( x 0 ) = lim ⁡ Δ x → 0 + f ( x 0 + Δ x ) − f ( x 0 ) Δ x f'_+(x_0)=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0^+}\dfrac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} f+′​(x0​)=Δx→0+lim​Δxf(x0​+Δx)−f(x0​)​

导数存在的充要条件： f − ′ ( x 0 ) = f + ′ ( x 0 ) f'_-(x_0)=f'_+(x_0) f−′​(x0​)=f+′​(x0​)

例题1

$y=|x|$在$x=0$处是否可导？

解：
f ′ ( 0 ) = lim ⁡ Δ x → 0 f ( 0 + Δ x ) − f ( 0 ) Δ x = lim ⁡ Δ x → 0 ∣ Δ x ∣ Δ x \qquad f'(0)=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\dfrac{f(0+\Delta x)-f(0)}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\dfrac{|\Delta x|}{\Delta x} f′(0)=Δx→0lim​Δxf(0+Δx)−f(0)​=Δx→0lim​Δx∣Δx∣​

f − ′ ( 0 ) = lim ⁡ Δ x → 0 + − Δ x Δ x = − 1 \qquad f'_-(0)=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0^+}\dfrac{-\Delta x}{\Delta x}=-1 f−′​(0)=Δx→0+lim​Δx−Δx​=−1， f + ′ ( 0 ) = lim ⁡ Δ x → 0 + Δ x Δ x = 1 f'_+(0)=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0^+}\dfrac{\Delta x}{\Delta x}=1 f+′​(0)=Δx→0+lim​ΔxΔx​=1

f − ′ ( 0 ) ≠ f + ′ ( 0 ) \qquad f'_-(0)\neq f'_+(0) f−′​(0)=f+′​(0)，所以$y=|x|$在$x=0$处不可导

例题2

已知 f ′ ( x 0 ) = 1 f'(x_0)=1 f′(x0​)=1，则 lim ⁡ h → 0 f ( x 0 + h ) − f ( x 0 − h ) h = ‾ \lim\limits_{h\rightarrow 0}\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0-h)}{h}=\underline{\qquad\qquad} h→0lim​hf(x0​+h)−f(x0​−h)​=​

解：原式 = lim ⁡ h → 0 f ( x 0 + h ) − f ( x 0 ) h + f ( x 0 ) − f ( x 0 − h ) h = f ′ ( x 0 ) + f ′ ( x 0 ) = 2 =\lim\limits_{h\rightarrow 0}\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}+\dfrac{f(x_0)-f(x_0-h)}{h}=f'(x_0)+f'(x_0)=2 =h→0lim​hf(x0​+h)−f(x0​)​+hf(x0​)−f(x0​−h)​=f′(x0​)+f′(x0​)=2

总结

• 求导的充要条件：左导数$=$右导数
• 可导则一定连续，连续不一定可导

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