总离差平方和=回归平方和+残差平方和及证明

线性回归是一种常用的统计分析方法，用于建立自变量与因变量之间的关系模型。在线性回归中，我们希望找到一个最佳拟合直线，使得该直线与观测数据之间的误差最小化。为了衡量误差的大小，我们引入了总离差平方和、回归平方和和残差平方和这三个概念。

首先，我们来介绍总离差平方和（Total Sum of Squares，简称TSS）。总离差平方和表示因变量（或响应变量）在整个样本中的变异程度。它的计算公式为：

TSS = Σ(yᵢ - ȳ)²

其中，yᵢ表示第i个观测值，ȳ表示所有观测值的均值。TSS可以看作是真实值与均值之间的差异的总和。

接下来，我们介绍回归平方和（Regression Sum of Squares，简称RSS）。回归平方和表示由线性回归模型所解释的因变量的变异程度。它的计算公式为：

RSS = Σ(ŷᵢ - ȳ)²

其中，ŷᵢ表示第i个观测值的预测值，ȳ表示所有观测值的均值。RSS可以看作是预测值与均值之间的差异的总和。

最后，我们介绍残差平方和（Residual Sum of Squares，简称ESS）。残差平方和表示线性回归模型无法解释的残差的变异程度。它的计算公式为：

ESS = Σ(yᵢ - ŷᵢ)²

其中，yᵢ表示第i个观测值，ŷᵢ表示第i个观测值的预测值。ESS可以看作是真实值与预测值之间的差异的总和。

接下来，我们将证明TSS等于RSS加上ESS。

首先，根据TSS的定义，我们有：
TSS = Σ(yᵢ - ȳ)²

将yᵢ分解为ŷᵢ加上残差eᵢ：
yᵢ &

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