线性回归的总离差平方和等于回归平方和加上残差平方和的证明

线性回归是一种常用的统计分析方法，用于建立自变量与因变量之间的线性关系模型。在回归分析中，我们希望通过最小化总离差平方和来拟合最佳的线性回归模型。本文将证明总离差平方和等于回归平方和加上残差平方和。

我们先回顾一下线性回归模型的表示形式。假设我们有一个包含n个样本的数据集，其中自变量为X，因变量为Y。线性回归模型可以表示为：

Y = β0 + β1*X + ε

其中，β0和β1是回归系数，ε是误差项（残差）。我们的目标是找到最佳的β0和β1，使得模型拟合数据最好。

首先，我们定义总离差平方和（Total Sum of Squares，SST）为观测值Y与其均值Y的差的平方和：

SST = Σ(Yi - Ȳ)²

其中，Yi表示第i个观测值，Ȳ表示所有观测值的均值。

接下来，我们定义回归平方和（Regression Sum of Squares，SSR）为预测值Y’与均值Ȳ的差的平方和：

SSR = Σ(Y’i - Ȳ)²

其中，Y’i表示通过回归模型预测得到的第i个观测值。

最后，我们定义残差平方和（Residual Sum of Squares，SSE）为观测值Y与预测值Y’的差的平方和：

SSE = Σ(Yi - Y’i)²

现在我们将证明SST等于SSR加上SSE。

首先，根据定义，我们可以将总离差平方和SST展开：

SST = Σ(Yi - Ȳ)²
= Σ((Yi - Y’i) + (Y’i - Ȳ))²
=

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