管理类联考——数学——汇总篇——知识点突破——几何——平面几何——记忆

文章目录

• 整体
• • 记忆宫殿
  • • • 角度/分类/串联线——从小到大
      • 角度/分类/串联线2——求长度，面积，角度
• 局部
• • 数字编码
  • 口诀法
  • • 五大模型/共角定理、风筝模型、蝴蝶模型
  • 转化图像法
  • 特点法
  • 公式推导法：公式推导掌握数学公式
  • • 射影定理
    • 共角定理
    • 燕尾定理
    • 蝴蝶定理/模型
    • 三角形的四心，内切圆半径，外接圆半径
  • 汇总法
  • • 面积公式汇总
    • 定理模型汇总/图形结合法
    • 鸟头定理/共角模型记忆汇总

整体

整体要点依赖宫殿记忆

记忆宫殿

学习记忆——宫殿篇——记忆宫殿——记忆桩——单间+客厅+厨房+厕所+书房+院子空间够大，可以将“代数”和“几何”放进去，代数即几何，特别适合放一个空间。

不同的角度或者串联逻辑线，方便加到印象深刻的记忆桩中。知识点串联起来的线，可以使得有逻辑的放置物品，更容易的想起来顺序来。

角度/分类/串联线——从小到大

从三角形的周边的角，边，到中间的“心”，整体的“形状”，“面积”

1. 角：三角关系，内角和定理。
2. 边：三边关系，中线定理，角平分线。
   （1）勾股定理：常见勾股数(3,4,5),(6,8,10),(5,12,13),(7,24,25),(8,15,17),(9,12,15)
   （2）中线定理：AD为BC边上的中线， A B 2 + A C 2 = 2 ( A D 2 + B D 2 ) AB^2+AC^2=2(AD^2+BD^2) AB2+AC2=2(AD2+BD2)
   塞瓦定理：
3. 边与角：边角关系，正弦定理，余弦定理。
   （1）正弦定理： a s i n A = b s i n B = c s i n C = 2 R 外 \frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=2R_外 sinAa​=sinBb​=sinCc​=2R外​， R 外 = a b c 4 S R_外=\frac{abc}{4S} R外​=4Sabc​
   （2）余弦定理： { a 2 = b 2 + c 2 − 2 b c c o s A , b 2 = a 2 + c 2 − 2 a c c o s B , c 2 = a 2 + b 2 − 2 a b c o s C \begin{cases} a^2=b^2+c^2-2bccosA, \\ b^2=a^2+c^2-2accosB, \\ c^2=a^2+b^2-2abcosC \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧​a2=b2+c2−2bccosA,b2=a2+c2−2accosB,c2=a2+b2−2abcosC​
   { c o s A = b 2 + c 2 − a 2 2 b c , c o s B = a 2 + c 2 − b 2 2 a c , c o s C = a 2 + b 2 − c 2 2 a b \begin{cases} cosA=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}, \\ cosB=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}, \\ cosC=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab} \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧​cosA=2bcb2+c2−a2​,cosB=2aca2+c2−b2​,cosC=2aba2+b2−c2​​
   （3）张角定理：
   （4）边比值：
   等腰直角三角形的三边之比： 1 : 1 ： 2 1:1：\sqrt{2} 1:1：2 ​
   内角为 3 0 o 30^o 30o、 6 0 o 60^o 60o、 9 0 o 90^o 90o的直角三角形三边之比为： 1 : 3 : 2 1:\sqrt{3}:2 1:3 ​:2
   等边三角形高与边的比为： 3 : 2 \sqrt{3}:2 3 ​:2
4. 心：四线五心（内心，外心，垂心，重心，中心）
   （1）内心：角平分线的交点，是内切圆的圆心，到三边的距离相等。 一般三角形， S = r 2 ( a + b + c ) ， S 为面积， r 为内切圆半径， a , b , c 是三边 一般三角形，S=\frac{r}{2}(a+b+c)，S为面积，r为内切圆半径，a,b,c是三边 一般三角形，S=2r​(a+b+c)，S为面积，r为内切圆半径，a,b,c是三边； 一般三角形，内切圆半径 r = 2 S a + b + c 一般三角形，内切圆半径r=\frac{2S}{a+b+c} 一般三角形，内切圆半径r=a+b+c2S​； 直角三角形，内切圆半径 r = a + b − c 2 直角三角形，内切圆半径r=\frac{a+b-c}{2} 直角三角形，内切圆半径r=2a+b−c​； 直角三角形，内切圆半径 r = 3 a 6 直角三角形，内切圆半径r=\frac{\sqrt{3}a}{6} 直角三角形，内切圆半径r=63 ​a​。
   （2）外心：三边的中垂线的交点，是外接圆的圆心，到三个顶点的距离相等。 S = a b c 4 R ， S 为面积， R 为外接圆半径 S=\frac{abc}{4R}，S为面积，R为外接圆半径 S=4Rabc​，S为面积，R为外接圆半径。
   （3）重心：三条中线的交点。重心将三角形分为三个面积相等的三角形，衷心将中线分成$2:1$两段。已知三角形三个顶点的坐标（ x 1 x_1 x1​, y 1 y_1 y1​）、( x 2 x_2 x2​, y 2 y_2 y2​)、( x 3 x_3 x3​, y 3 y_3 y3​)，则重心坐标为( x 1 + x 2 + x 3 3 \frac{x_1+x_2+x_3}{3} 3x1​+x2​+x3​​, y 1 + y 2 + y 3 3 \frac{y_1+y_2+y_3}{3} 3y1​+y2​+y3​​)
   （4）垂心：三条高的交点。锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外。
5. 面积：通用公式，特殊公式。/ 多少，最值。/ 定理：求长度定理，求面积定理。/ 五个面积公式。/利用底高，夹角，三边计算面积
   （1）求面积：求面积汇总公式： S = 1 2 a h [ 底高 → 燕尾定理 ] = 1 2 a b s i n C [ 夹角 → 共角定理 ] = p ( p − a ) ( p − b ) ( p − c ) [ 三边 ] = r p [ 内心 ] = a b c 4 R [ 外心 ] S=\frac{1}{2}ah[底高→燕尾定理]=\frac{1}{2}absinC[夹角→共角定理]=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}[三边]=rp[内心]=\frac{abc}{4R}[外心] S=21​ah[底高→燕尾定理]=21​absinC[夹角→共角定理]=p(p−a)(p−b)(p−c) ​[三边]=rp[内心]=4Rabc​[外心]，其中，h是a边上的高，∠C是a,b边所夹的角， p = 1 2 ( a + b + c ) p=\frac{1}{2}(a+b+c) p=21​(a+b+c)，r为三角形内切圆的半径，R为三角形外接圆的半径。
   （2）面积比：五大模型：等面积模型，鸟头模型/共角模型，相似模型，燕尾模型，风筝模型，蝴蝶模型。
   根据公式推导的原理，可以得出：
   三角形底高面积公式→燕尾定理
   三角形sin夹角面积公式→鸟头定理/共角模型
   相似定理→射影定理，蝴蝶定理
6. 面积与边：五大模型：等面积模型，鸟头模型/共角模型，相似模型，燕尾模型，风筝模型，蝴蝶模型。（有动物的定理都跟“面积比与线段比”有关）
   （1）鸟头定理：两个三角形中有一个角相等或互补，两个三角形称为共角三角形，共角三角形的面积比等于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比。（触发条件：出现共角或等角的三角形）【分为三大模型：共角模型，对顶角模型，补角模型。】
   （2）燕尾定理：共顶点的两个形如燕尾的三角形面积比等于底边比。（触发条件：三角形内部有一个点与三顶点连线求面积）
   （3）风筝定理：
   （4）蝴蝶定理：
7. 形状：相似，全等。
   等腰直角三角形：三边之比满足 1 : 1 ： 2 1:1：\sqrt{2} 1:1：2 ​。
   等边三角形：三个内角相等或者四心合一。
   （1）相似
   ① 相似三角形（相似图形）对应边的比相等（即为相似比）。
   ② 相似三角形（相似图形）的高、中线、角平分线的比也等于相似比。
   ③ 相似三角形（相似图形）的周长比等于相似比。
   ④ 相似三角形（相似图形）的面积比等于相似比的平方。

根据上述提到的“心”，想到是否可以用“身体”这个记忆桩进行记忆https://blog.csdn.net/stqer/article/details/132844351

头发
眼睛
鼻子
嘴巴
脖子
肩膀
前胸→心：五心

肚子
大腿
脚

角度/分类/串联线2——求长度，面积，角度

1. 求长度
   直角三角形求长度，优先勾股定理；
   直角三角形中做高求长度，优先射影定理；
2. 求面积
   （1）单个三角形：三大面积公式： S = 1 2 a h [ 利用底高 ] = 1 2 a b s i n C ( C 是 a , b 边所夹的角 ) [ 利用夹角 ] = p ( p − a ) ( p − b ) ( p − c ) ( p = 1 2 ( a + b + c ) ) [ 利用三边 ] S=\frac{1}{2}ah[利用底高]=\frac{1}{2}absinC(C是a,b边所夹的角)[利用夹角]=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}(p=\frac{1}{2}(a+b+c))[利用三边] S=21​ah[利用底高]=21​absinC(C是a,b边所夹的角)[利用夹角]=p(p−a)(p−b)(p−c) ​(p=21​(a+b+c))[利用三边]
   S = 1 2 a h = 1 2 a b s i n C = p ( p − a ) ( p − b ) ( p − c ) = r p = a b c 4 R S=\frac{1}{2}ah=\frac{1}{2}absinC=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=rp=\frac{abc}{4R} S=21​ah=21​absinC=p(p−a)(p−b)(p−c) ​=rp=4Rabc​，其中，h是a边上的高，∠C是a,b边所夹的角， p = 1 2 ( a + b + c ) p=\frac{1}{2}(a+b+c) p=21​(a+b+c)，r为三角形内切圆的半径，R为三角形外接圆的半径。
   （2）两个三角形：
   ① 出现共角或等角的三角形，用鸟头模型。
   ② 三角形内部有一个点与三顶点连线求面积，用燕尾模型。
3. 求角度
4. 三角形的四心五线

局部

局部各个知识点，利用多种技巧进行记忆

数字编码

常见勾股数(1,1, 2 \sqrt{2} 2 ​),(1, 3 \sqrt{3} 3 ​,2),(3,4,5),(6,8,10),(5,12,13),(7,24,25),(8,15,17),(9,12,15)：

3是弓，4是旗，5是钩/手掌，6是勺子，7是镰刀，8是葫芦，9球拍，10是衣领，12是婴儿，13是医生，15是鹦鹉，17是仪器，24盒子，25是二胡。

1,1, 2 \sqrt{2} 2 ​：点两只蜡烛，找一只更好鸭。
1, 3 \sqrt{3} 3 ​,2：
3,4,5：用手掌，拉弓和举旗。
6,8,10：
5,12,13：钩子勾住婴儿的是医生。用手掌勾住婴儿的是医生。
7,24,25：用镰刀打开盒子，里面放着二胡。
8,15,17：
9,12,15：球拍，婴儿，鹦鹉。婴儿用球拍打鹦鹉。

或者

3,4,5：SHW=是华为
6,8,10：GBYD=改变移动

面积公式： S = 1 2 a h [ 利用底高 ] = 1 2 a b s i n C ( C 是 a , b 边所夹的角 ) [ 利用夹角 ] = p ( p − a ) ( p − b ) ( p − c ) ( p = 1 2 ( a + b + c ) ) [ 利用三边 ] S=\frac{1}{2}ah[利用底高]=\frac{1}{2}absinC(C是a,b边所夹的角)[利用夹角]=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}(p=\frac{1}{2}(a+b+c))[利用三边] S=21​ah[利用底高]=21​absinC(C是a,b边所夹的角)[利用夹角]=p(p−a)(p−b)(p−c) ​(p=21​(a+b+c))[利用三边]

内角为 4 5 o 45^o 45o、 4 5 o 45^o 45o、 9 0 o 90^o 90o/等腰直角三角形的三边之比： 1 : 1 ： 2 1:1：\sqrt{2} 1:1：2 ​
内角为 3 0 o 30^o 30o、 6 0 o 60^o 60o、 9 0 o 90^o 90o的直角三角形三边之比为： 1 : 3 : 2 1:\sqrt{3}:2 1:3 ​:2
内角为 6 0 o 60^o 60o、 6 0 o 60^o 60o、 6 0 o 60^o 60o等边三角形高与边的比为： 3 : 2 \sqrt{3}:2 3 ​:2

30森林，45师傅，60榴莲，90酒瓶/精灵，直角z闪电，1蜡烛，根号3根号伞，2鸭子

两个师傅拿着酒瓶进行三边比，（两个人需要）两根蜡烛跟（一只）好鸭。
森林里面有个爱吃榴莲的精灵进行三边比，（一个精灵只需）一个蜡烛，跟（一把）好伞，鸭子。
三颗榴莲高边比，跟一把好伞，鸭子。

内心：角平分线的交点，是内切圆的圆心，到三边的距离相等。 一般三角形， S = r 2 ( a + b + c ) ， S 为面积， r 为内切圆半径， a , b , c 是三边 一般三角形，S=\frac{r}{2}(a+b+c)，S为面积，r为内切圆半径，a,b,c是三边 一般三角形，S=2r​(a+b+c)，S为面积，r为内切圆半径，a,b,c是三边； 一般三角形，内切圆半径 r = 2 S a + b + c 一般三角形，内切圆半径r=\frac{2S}{a+b+c} 一般三角形，内切圆半径r=a+b+c2S​； 直角三角形，内切圆半径 r = a + b − c 2 直角三角形，内切圆半径r=\frac{a+b-c}{2} 直角三角形，内切圆半径r=2a+b−c​； 直角三角形，内切圆半径 r = 3 a 6 直角三角形，内切圆半径r=\frac{\sqrt{3}a}{6} 直角三角形，内切圆半径r=63 ​a​。

口诀法

五大模型/共角定理、风筝模型、蝴蝶模型

三角形重心：重心连线二比一，面积分成六个一
共角模型：同角补角面积比，结果都是腰积比

射影定理：
影子长乘斜边长，等于直角边平方
斜边两半相互乘，等于斜边高平方

风筝模型：对角相乘面积等

蝴蝶模型：
梯形对角连一连，分成四个小三角
从小到大面积比，底的平方夹乘积

转化图像法

学习记忆——数学篇——转图像记忆法

S = 1 2 a h = 1 2 a b s i n C = p ( p − a ) ( p − b ) ( p − c ) = r p = a b c 4 R S=\frac{1}{2}ah=\frac{1}{2}absinC=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=rp=\frac{abc}{4R} S=21​ah=21​absinC=p(p−a)(p−b)(p−c) ​=rp=4Rabc​，其中，h是a边上的高，∠C是a,b边所夹的角， p = 1 2 ( a + b + c ) p=\frac{1}{2}(a+b+c) p=21​(a+b+c)，r为三角形内切圆的半径，R为三角形外接圆的半径。

转换：“ p = 1 2 ( a + b + c ) p=\frac{1}{2}(a+b+c) p=21​(a+b+c)”-三边的一半，半周长，拌粥；r-内切圆半径，内切半斤；abc-边长乘积-边长成绩；R-外接半斤。
面积等于内切半斤（肉）拌粥；也等于=变成鸡初一时外接半斤（肉）。

引用：
S = 1 2 a h [ 底高 ] = 1 2 a b s i n C [ 夹角 ] = p ( p − a ) ( p − b ) ( p − c ) [ 三边 ] = r p [ 内心 ] = a b c 4 R [ 外心 ] S=\frac{1}{2}ah[底高]=\frac{1}{2}absinC[夹角]=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}[三边]=rp[内心]=\frac{abc}{4R}[外心] S=21​ah[底高]=21​absinC[夹角]=p(p−a)(p−b)(p−c) ​[三边]=rp[内心]=4Rabc​[外心]，其中，h是a边上的高，∠C是a,b边所夹的角， p = 1 2 ( a + b + c ) p=\frac{1}{2}(a+b+c) p=21​(a+b+c)，r为三角形内切圆的半径，R为三角形外接圆的半径。
内心：角平分线的交点，是内切圆的圆心，到三边的距离相等。 一般三角形， S = r 2 ( a + b + c ) ， S 为面积， r 为内切圆半径， a , b , c 是三边 一般三角形，S=\frac{r}{2}(a+b+c)，S为面积，r为内切圆半径，a,b,c是三边 一般三角形，S=2r​(a+b+c)，S为面积，r为内切圆半径，a,b,c是三边；
外心：三边的中垂线的交点，是外接圆的圆心，到三个顶点的距离相等。 S = a b c 4 R ， S 为面积， R 为外接圆半径 S=\frac{abc}{4R}，S为面积，R为外接圆半径 S=4Rabc​，S为面积，R为外接圆半径。

特点法

常用角度的正弦、余弦、正切值：

2分之：根号1、根号2、根号3

公式推导法：公式推导掌握数学公式

根据公式推导的原理，可以找出：
三角形底高面积公式→燕尾定理
三角形sin夹角面积公式→鸟头定理/共角模型
相似定理→射影定理，蝴蝶定理

射影定理

共角定理

S = 1 2 a h [ 底高 ] = 1 2 a b s i n C [ 夹角 ] = p ( p − a ) ( p − b ) ( p − c ) [ 三边 ] = r p [ 内心 ] = a b c 4 R [ 外心 ] S=\frac{1}{2}ah[底高]=\frac{1}{2}absinC[夹角]=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}[三边]=rp[内心]=\frac{abc}{4R}[外心] S=21​ah[底高]=21​absinC[夹角]=p(p−a)(p−b)(p−c) ​[三边]=rp[内心]=4Rabc​[外心]，其中，h是a边上的高，∠C是a,b边所夹的角， p = 1 2 ( a + b + c ) p=\frac{1}{2}(a+b+c) p=21​(a+b+c)，r为三角形内切圆的半径，R为三角形外接圆的半径。中的夹角面积公式可推出“共角定理”，“共角”与“夹角”有关，进而跟 S = 1 2 a b s i n C [ 夹角 ] S=\frac{1}{2}absinC[夹角] S=21​absinC[夹角]有关。
可以将“共角定理”也放到“面积汇总公式”中去，如下：

S = 1 2 a h [ 底高 ] = 1 2 a b s i n C [ 夹角 → 共角定理 ] = p ( p − a ) ( p − b ) ( p − c ) [ 三边 ] = r p [ 内心 ] = a b c 4 R [ 外心 ] S=\frac{1}{2}ah[底高]=\frac{1}{2}absinC[夹角→共角定理]=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}[三边]=rp[内心]=\frac{abc}{4R}[外心] S=21​ah[底高]=21​absinC[夹角→共角定理]=p(p−a)(p−b)(p−c) ​[三边]=rp[内心]=4Rabc​[外心]，其中，h是a边上的高，∠C是a,b边所夹的角， p = 1 2 ( a + b + c ) p=\frac{1}{2}(a+b+c) p=21​(a+b+c)，r为三角形内切圆的半径，R为三角形外接圆的半径。

燕尾定理

与面积公式的： S = 1 2 a h [ 底高 ] S=\frac{1}{2}ah[底高] S=21​ah[底高]有关系，可以将“燕尾定理”关联到面积公式中，可得： S = 1 2 a h [ 底高 → 燕尾定理 ] S=\frac{1}{2}ah[底高→燕尾定理] S=21​ah[底高→燕尾定理]，通过“底高”可以推出燕尾定理。

蝴蝶定理/模型

任意梯形被对角线分成面积为 S 1 S_1 S1​， S 2 S_2 S2​， S 3 S_3 S3​， S 4 S_4 S4​的四部分，则有 S 1 : S 2 : S 4 : S 3 = a 2 : a b : a b : b 2 S_1:S_2:S_4:S_3=a^2:ab:ab:b^2 S1​:S2​:S4​:S3​=a2:ab:ab:b2。

由相似定理可推出：蝴蝶定理

三角形的四心，内切圆半径，外接圆半径

汇总法

将同属性的事物放一起记忆，比如汇总同一个知识点的不同记忆技巧，放一起看，选一个你最喜欢的/最让你印象深刻的。

面积公式汇总

面积公式汇总： S = 1 2 a h [ 底高 ] = 1 2 a b s i n C [ 夹角 ] = p ( p − a ) ( p − b ) ( p − c ) [ 三边 ] = r p [ 内心 ] = a b c 4 R [ 外心 ] S=\frac{1}{2}ah[底高]=\frac{1}{2}absinC[夹角]=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}[三边]=rp[内心]=\frac{abc}{4R}[外心] S=21​ah[底高]=21​absinC[夹角]=p(p−a)(p−b)(p−c) ​[三边]=rp[内心]=4Rabc​[外心]，其中，h是a边上的高，∠C是a,b边所夹的角， p = 1 2 ( a + b + c ) p=\frac{1}{2}(a+b+c) p=21​(a+b+c)，r为三角形内切圆的半径，R为三角形外接圆的半径。

定理模型汇总/图形结合法

平面几何五大模型

1. 等面积模型：两个三角形高之比为 h 1 : h 2 h_1:h_2 h1​:h2​，底之比为 a 1 : a 2 a_1:a_2 a1​:a2​，面积之比为 S 1 : S 2 = a 1 h 1 : a 2 h 2 S_1:S_2=a_1h_1:a_2h_2 S1​:S2​=a1​h1​:a2​h2​
2. 共角模型： S △ A B C : S △ A D E = ( A B ⋅ A C ) : ( A D ⋅ A E ) S_{△ABC}:S_{△ADE}=(AB·AC):(AD·AE) S△ABC​:S△ADE​=(AB⋅AC):(AD⋅AE)
3. 相似模型：
4. 燕尾模型：
   S △ A O B : S △ A O C = B D : D C S_{△AOB}:S_{△AOC}=BD:DC S△AOB​:S△AOC​=BD:DC
   S △ A O B : S △ C O B = A E : C E S_{△AOB}:S_{△COB}=AE:CE S△AOB​:S△COB​=AE:CE
   S △ B O C : S △ A O C = B F : A F S_{△BOC}:S_{△AOC}=BF:AF S△BOC​:S△AOC​=BF:AF
   
5. 风筝模型： S 1 : S 4 = S 2 : S 3 S_1:S_4=S_2:S_3 S1​:S4​=S2​:S3​， S 1 : S 4 = S 2 : S 3 S_1:S_4=S_2:S_3 S1​:S4​=S2​:S3​
   
6. 蝴蝶模型：任意梯形被对角线分成面积为 S 1 S_1 S1​， S 2 S_2 S2​， S 3 S_3 S3​， S 4 S_4 S4​的四部分，则有 S 1 : S 2 : S 4 : S 3 = a 2 : a b : a b : b 2 S_1:S_2:S_4:S_3=a^2:ab:ab:b^2 S1​:S2​:S4​:S3​=a2:ab:ab:b2。

鸟头定理/共角模型记忆汇总

1. 图形结合法： S △ A B C : S △ A D E = ( A B ⋅ A C ) : ( A D ⋅ A E ) S_{△ABC}:S_{△ADE}=(AB·AC):(AD·AE) S△ABC​:S△ADE​=(AB⋅AC):(AD⋅AE)

2. 公式推导法：
   夹角面积公式 S = 1 2 a b s i n C [ 夹角 ] S=\frac{1}{2}absinC[夹角] S=21​absinC[夹角]可推出“共角定理”，“共角”与“夹角”有关，可以将“共角定理”也放到“面积汇总公式”中去，如下：
   S = 1 2 a h [ 底高 ] = 1 2 a b s i n C [ 夹角 → 共角定理 ] S=\frac{1}{2}ah[底高]=\frac{1}{2}absinC[夹角→共角定理] S=21​ah[底高]=21​absinC[夹角→共角定理]

3. 口诀法：
   共角模型：同角补角面积比，结果都是腰积比

入栏需看——学习记忆

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