线代行列式、矩阵知识梳理

线代行列式、矩阵知识梳理

一、行列式

1、注意事项

• 行列式只有n×n，没有m×n（m!=n）
• |A+B|!=|A|+|B|

2、行列式性质

• 转置后行列式值不变
• 某行有公因数k，可将k提出
• 两行互换，行列式值变号----------------------->行列式两行相同/成比例，则值为0
• 若行列式某行每一项都是两个数的和，则可将行列式拆成两个行列式的和
• 将某行的k倍加到另一行

3、行列式按行/列展开

###### 1.代数余子式的定义

###### 2.重要推论

• 某一行的所有元素与另一行相应元素对应的代数余子式乘积之和为0

3.重要公式

• 上三角与下三角行列式公式
• 分块矩阵公式
• 拉普拉斯
• 范德蒙行列式

4、克拉默法则

# 1.齐次方程组若系数行列式=0      <----->  方程组有非零解（无穷多解）若系数行列式！=0    <----->  方程组只有0解
# 2.非齐次方程组系数行列式！=0 	  <----->  方程组有唯一解

二、矩阵知识

1、各种概念（同型矩阵、逆矩阵等）

# 1.同型矩阵(A=B)A、B均为m*n矩阵，且对应位置的元素相等，称A和B为同型矩阵，记做A=B
# 2.单位矩阵E主对角线元素全为1
# 3.对角矩阵主对角线之外的元素皆为0的矩阵
# 4.对称矩阵矩阵转置后不变的矩阵
# 5.反对称矩阵矩阵转置后为-1倍的矩阵
# 6.伴随矩阵（Aij）将矩阵A的第i行第j列去掉后，系数为(-1)^(i+j)的矩阵
# 7.可逆矩阵（必定是n * n的矩阵）若AB=E,称A是可逆的，B是A的逆矩阵且B唯一

2、矩阵四则运算

# 1.矩阵加法要求矩阵都是m*n的矩阵（A+B）+C = A+B+C
# 2.矩阵数乘k(mA)=m(kA)=(mk)A(k+m)A=kA+mAk(A+B)=kA+kB
# 3.矩阵乘法AB:A的列数=B的行数AB！=BAAB=0 推不出 A=0或B=0AB=AC,A!=0 推不出B=C

3、矩阵运算法则汇总

4、重要性质

# 1.矩阵A可逆 等价于 |A|!=0
# 2.二阶伴随矩阵：主对角线互换，次对角线负号
# 3.可逆矩阵的逆矩阵唯一# 4.行矩阵×列矩阵是一个数 而不是一个矩阵

5、如何求可逆矩阵

# 法1、定义法
# 法2、公式法（二阶矩阵常用，因为二阶矩阵的伴随矩阵易得）
# 法3.初等行变换（只能用行变换）（A|E)~~~~(E,A^-1)
# 法4.分块矩阵的逆矩阵

三、初等矩阵与初等行变换

1、初等行变换

# 1.用非0常数k乘矩阵A某行的所有元素      （倍乘）
# 2.互换矩阵A的两行元素                （互换）   
# 3.将A的某行元素的k倍加到另外一行上     （倍加）

2、初等矩阵（均可逆）

# 1.定义：单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵
# 2.性质：设有初等矩阵PPA  等价于  A作一次与P相同的行变换AP  等价于  A作一次与P相同的列变换
# 3.初等矩阵均可逆

3、矩阵等价

​ A矩阵若可以经过有限次初等变换得到B，称二者等价。且等价矩阵的秩相等

4、分块矩阵运算解决矩阵转置、逆矩阵、n次方

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