椭圆积分与椭圆函数简介

2023-10-07 00:05:35

椭圆积分与椭圆函数简介
在很久很久以前，人们要去求椭圆(a,b)的周长，他们设线元 $ds=\sqrt{a^2sin^2\varphi+b^2cos^2\varphi}d\varphi =a\sqrt{1-e^2cos^2\varphi}d\varphi$
于是他们得到了椭圆积分 $s=a\int \frac{1-e^2t^2}{\sqrt{(1-t^2)(1-e^2t^2)}}dt$

椭圆积分

椭圆积分是形如 $\int R(x,y)dx$ 的积分
其中
- $R(x,y)$ 是 $x,y$ 的有理函数
- $y^2=P(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e$ 多项式的次数多于四次时，积分就成为了超椭圆积分
一般而言，通过微操，可以使得
- 而且 $R_1(x)$ 是可积分的，这是很棒的
- 同时，通过进一步的微操，可以证明 $R_2(x)=\sum_{m=0}^{n}a_mx^m+\sum_{p=1}^{q}\sum_{k=1}^{n_p}\frac{b_k}{(x-h_p)^k}$
- 也就是说，椭圆积分问题可以转化成解决下面两种类型的积分的问题
- $I_m=\int \frac{x^m}{y(x)}dx,J_k=\int \frac{dx}{(x-h)^ky(x)}$
通过新的微操，数学家们得到了两个递推式

$(m+2)aI_{m+3}+(m+\frac{3}{2})bI_{m+2}+(m+1)cI_{m+1}+(m+\frac{1}{2})dI_{m}+meI_{m-1}=x^m\sqrt{P(x)}+C$

$-kP(h)J_{k+1}+(\frac{1}{2}-k)P'(h)J_k+\frac{1-k}{2}P''(h)J_{k-1}+(\frac{1}{4}-\frac{k}{6})P'''(h)J_{k-2}=\frac{\sqrt{P(x)}}{(x-h)^k}+C$

接下来只需要简单的观察，我们就可以发现 $J_0=I_0,J_{-1}=I_1-hI_0$
简单得讲，我们得到了一个十分重要的结论：我们只需要计算三种基本椭圆积分即可

基本椭圆积分

$I_0,I_1,J_1$

第一种椭圆积分

$I_0$

第二种椭圆积分

$I_1$

第三种椭圆积分

$J_1$

Mathematica 指令

我暂时还没有搞明白怎么微操这个玩意，感觉和本文讲得不太一致

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