傅里叶级数展开公式，方波的傅里叶展开

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• 傅里叶级数
• 方波函数的傅里叶展开

傅里叶级数

{ f ( t ) = a 0 2 + a 1 cos ⁡ ( ω t ) + b 1 sin ⁡ ( ω t ) + a 2 cos ⁡ ( 2 ω t ) + b 2 sin ⁡ ( 2 ω t ) + a 3 cos ⁡ ( 3 ω t ) + b 3 sin ⁡ ( 3 ω t ) + … = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ [ a n cos ⁡ ( n ω t ) + b n sin ⁡ ( n ω t ) ] \left\{ \begin{aligned} f(t) =\frac{a_0}{2}&+a_1 \cos (\omega t)+b_1 \sin (\omega t) \\ & +a_2 \cos (2 \omega t)+b_2 \sin (2 \omega t) \\ & +a_3 \cos (3 \omega t)+b_3 \sin (3 \omega t) \\ & +\ldots \\ =\frac{a_0}{2}&+\sum_{n=1}^{\infty}\left[a_n \cos (n \omega t)+b_n \sin (n \omega t)\right] \end{aligned} \right. ⎩ ⎨ ⎧​f(t)=2a0​​=2a0​​​+a1​cos(ωt)+b1​sin(ωt)+a2​cos(2ωt)+b2​sin(2ωt)+a3​cos(3ωt)+b3​sin(3ωt)+…+n=1∑∞​[an​cos(nωt)+bn​sin(nωt)]​

{ a n = 2 T ∫ t 0 t 0 + T f ( t ) cos ⁡ ( n ω t ) d t b n = 2 T ∫ t 0 t 0 + T f ( t ) sin ⁡ ( n ω t ) d t \left\{ \begin{array}{l} {a_n} = \frac{2}{T}\int_{{t_0}}^{{t_0} + T} f (t)\cos (n\omega t)dt\\ {b_n} = \frac{2}{T}\int_{{t_0}}^{{t_0} + T} f (t)\sin (n\omega t)dt \end{array} \right. {an​=T2​∫t0​t0​+T​f(t)cos(nωt)dtbn​=T2​∫t0​t0​+T​f(t)sin(nωt)dt​

方波函数的傅里叶展开

  假设方波周期为$T$，频率为$f$，对应角频率为 ω = 2 π f = 2 π T \omega=2\pi f=\frac{2\pi}{T} ω=2πf=T2π​，方波幅值为$\pm A$，对应的傅里叶级数为：
{ f ( t ) = 4 A π [ sin ⁡ ( ω t ) + 1 3 sin ⁡ ( 3 ω t ) + 1 5 sin ⁡ ( 5 ω t ) + . . . ] = 4 A π ∑ n = 0 ∞ sin ⁡ ( ( 2 n + 1 ) ω t ) 2 n + 1 \left\{ \begin{aligned} f(t) &= \frac{{4A}}{\pi }\left[ {\sin (\omega t) + \frac{1}{3}\sin (3\omega t) + \frac{1}{5}\sin (5\omega t) + ...} \right]\\ &= \frac{{4A}}{\pi }\sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{\sin ((2n + 1)\omega t)}}{{2n + 1}}} \end{aligned} \right. ⎩ ⎨ ⎧​f(t)​=π4A​[sin(ωt)+31​sin(3ωt)+51​sin(5ωt)+...]=π4A​n=0∑∞​2n+1sin((2n+1)ωt)​​

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