集合划分问题

 一、问题描述：

n个元素的集合{1,2,...,n}可以划分若干个非空子集。例如，当n=4时，集合{1,2,3,4}可以划分为15个不同的非空子集如下:

 
{{1},{2},{3},{4}},
{{1,2},{3},{4}},
{{1,3},{2},{4}},
{{1,4},{2},{3}},
{{2,3},{1},{4}},
{{2,4},{1},{3}},
{{3,4},{1},{2}},
{{1,2},{3,4}},
{{1,3},{2,4}},
{{1,4},{2,3}},
{{1,2,3},{4}},
{{1,2,4},{3}},
{{1,3,4},{2}},
{{2,3,4},{1}},
{{1,2,3,4}}
给定正整数n(1<=n<=20),计算出n个元素的集合{1,2,...,n} 可以化为多少个不同的非空子集。

二、问题分析：

 以集合元素个数为4为例，我们来看应该怎么求解集合划分问题。因为我们采用的是分治策略，因此，我们先看集合元素个数为3的集合的划分

考虑3个元素的集合，可划分为
（1） 1个子集的集合：{{1，2，3}}
（2） 2个子集的集合：{{1，2}，{3}}，{{1，3}，{2}}，{{2，3}，{1}}
（3） 3个子集的集合：{{1}，{2}，{3}}
∴F(3,1)=1;F(3,2)=3;F(3,3)=1;

 如果我们要求4个元素的集合划分为2个子集的集合的个数F（4，2），求解过程如下：

我们可以在（2）中加入4，加入4的方式有6种，

{{1，2，4}，{3}}，{{1，2}，{3，4}}，
{{1，3，4}，{2}}，{{1，3}，{2，4}}，
{{2，3，4}，{1}}，{{2，3}，{1，4}}

还可以在（1）中加入4，只有一种方式

{{1，2，3}，{4}}

所以F（4,2）=2*F(3,2）+F(3,1)

由以上的演示可以得出集合划分的公式如下：

此式中n为元素个数，m为子集个数。

三、程序代码

#include 
#include 
int jihe(int n,int m)
{if(n==m||m==1)return 1;else{return jihe(n-1,m-1)+m*jihe(n-1,m);}}
int main()
{int n,m;scanf("%d%d",&n,&m);int t;t=jihe(n,m);printf("%d",t);return 0;
}

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