三门问题，概率推导 + Python模拟

问题描述

        三门问题，亦称为蒙提霍尔问题（Monty Hall problem），出自美国的电视游戏节目Let's Make a Deal。问题名字来自该节目的主持人蒙提·霍尔（Monty Hall）。参赛者会看见三扇关闭了的门，其中一扇的后面有一辆汽车，选中后面有车的那扇门可赢得该汽车，另外两扇门后面则各藏有一只山羊。当参赛者选定了一扇门，但未去开启它的时候，节目主持人开启剩下两扇门的其中一扇，露出其中一只山羊。主持人其后会问参赛者要不要换另一扇仍然关上的门。问题是：换另一扇门是否会增加参赛者赢得汽车的机率。

        答案是会。不换门的话，赢得汽车的几率是1/3。换门的话，赢得汽车的几率是2/3。

概率推导

补充：全概率公式

定义：全概率公式为概率论中的重要公式，它将对一复杂事件A的概率求解问题转化为了在不同情况下发生的简单事件的概率的求和问题。

内容：如果事件B1、B2、B3…Bn 构成一个完备事件组，即它们两两互不相容，其和为全集；并且P(Bi)大于0，则对任一事件A有

P(A)=P(A|B1)*P(B1) + P(A|B2)*P(B2) + ... + P(A|Bn)*P(Bn)

  首先用数学语言进行问题定义：

        事件A：第一次选到中奖门的概率；

        事件B：改变选择后，选到了中奖门的概率 

        事件C：未改变选择后，选到了中奖门的概率

  接下来进行概率分析：

  根据全概率公式：

  所以改变选择后选到中奖门的概率要更大一些。

Python模拟

import numpy as np
import randomdef ThreeDoor(switch, loopNum):win = 0total = 0for loop in range(loopNum):doors = [1, 2, 3]prize = random.randint(1, 3)initialCholice = random.randint(1, 3)doors.remove(prize)  # 主持人不会开有奖品的门if initialCholice in doors:doors.remove(initialCholice)n = len(doors)hostChoice = random.randint(0, n - 1)if switch:secondChoice = 6 - doors[hostChoice] - initialCholice  # 6=1+2+3else:secondChoice = initialCholicetotal += 1if secondChoice == prize:win += 1return win / totalprint('When switching, the winning rate is ', ThreeDoor(True, 1000000))
print('When not switching, the winning rate is ', ThreeDoor(False, 1000000))

  代码运行结果如下：

   表明改变选择后中奖的概率是不改变选择的2倍。

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