4584: [Apio2016]赛艇

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Description

在首尔城中，汉江横贯东西。在汉江的北岸，从西向东星星点点地分布着个划艇学校，编号依次为到。每个学校都
拥有若干艘划艇。同一所学校的所有划艇颜色相同，不同的学校的划艇颜色互不相同。颜色相同的划艇被认为是一
样的。每个学校可以选择派出一些划艇参加节日的庆典，也可以选择不派出任何划艇参加。如果编号为的学校选择
派出划艇参加庆典，那么，派出的划艇数量可以在Ai至Bi之间任意选择（Ai<=Bi）。值得注意的是，编号为i的学
校如果选择派出划艇参加庆典，那么它派出的划艇数量必须大于任意一所编号小于它的学校派出的划艇数量。输入
所有学校的Ai、Bi的值，求出参加庆典的划艇有多少种可能的情况，必须有至少一艘划艇参加庆典。两种情况不同
当且仅当有参加庆典的某种颜色的划艇数量不同
Input

第一行包括一个整数N，表示学校的数量。接下来N行，每行包括两个正整数，用来描述一所学校。其中第行包括的

两个正整数分别表示Ai,Bi（1<=Ai<=Bi<=10^9），N<=500
Output

输出一行，一个整数，表示所有可能的派出划艇的方案数除以1,000,000,007得到的余数

Sample Input

2

1 2

2 3
Sample Output

7
HINT

Source

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将所有的$A_i，B_i$离散化，这样就得到$O(n)$个区间
记$len[j]$为第$j$个区间的长度，$Max[i][j]$为对于前$i$所学校，第$j$个区间最多能选择的数字个数
定义状态$f[i][j][k]$为前$i$所学校，第$i$所学校选择的数字在第$j$个区间，第$j$个区间一共被选择了$k$个数字的方案数
$Max$数组随便$dp$一下就行了
$f[i][j][k] = f[i-1][j][k] + f[i-1][j][k-1] \ast \frac{len[k]-k+1}{k}(k > 1)$
$f[i][j][1] = f[i-1][j][1] + \sum_{x=0}^{i-1}\sum_{y=0}^{j-1}\sum_{z=1}^{Max[x][j]} f[x][y][z]$
后面那一坨东西大力前缀和转移就行了
需要滚动数组优化
复杂度$O(n^3)$

#include
#include
#include
#include
#include
#define min(a,b) ((a) < (b) ? (a) : (b))
using namespace std;const int N = 505;
const int M = 2 * N;
typedef long long LL;
const LL mo = 1000000007;int n,tot,cur = 1,a[N],b[N],A[M],Inv[N],f[M][N],Max[N][M],g[M],len[M];inline int Mul(const LL &x,const LL &y) {return x * y % mo;}
inline void Add(int &x,int y) {x += y; x = x < mo ? x : x - mo;}
inline int Dec(const int &x,const int &y) {return x - y >= 0 ? x - y : x - y + mo;}inline int ksm(int x,int y)
{int ret = 1;for (; y; y >>= 1){if (y & 1) ret = Mul(ret,x);x = Mul(x,x);}return ret;
}int main()
{#ifdef DMCfreopen("DMC.txt","r",stdin);#endifcin >> n;for (int i = 1; i <= n; i++){Inv[i] = ksm(i,mo - 2); scanf("%d%d",&a[i],&b[i]);A[++tot] = a[i]; A[++tot] = ++b[i];}sort(A + 1,A + tot + 1);for (int i = 2; i <= tot; i++)if (A[i] != A[i - 1]) len[cur] = A[i] - A[cur],A[++cur] = A[i];for (int i = 0; i < cur; i++) g[i] = 1;for (int i = 1; i <= n; i++){int l = lower_bound(A + 1,A + cur + 1,a[i]) - A;int r = lower_bound(A + 1,A + cur + 1,b[i]) - A,total = 0;for (int j = 1; j < cur; j++) Max[i][j] = Max[i - 1][j];for (int j = l; j < r; j++){for (int k = ++Max[i][j]; k > 1; k--)Add(f[j][k],Mul(f[j][k-1],Mul(len[j] - k + 1,Inv[k])));Add(f[j][1],Mul(g[j - 1],len[j]));}for (int j = l; j < cur; j++){g[j] = g[j - 1];for (int k = 1; k <= Max[i][j]; k++) Add(g[j],f[j][k]);}}int Ans = 0;for (int i = 1; i < cur; i++)for (int j = 1; j <= n; j++) Add(Ans,f[i][j]);cout << Ans << endl;return 0;
}

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