高等代数：3 线性方程组的解集的结构

3 线性方程组的解集的结构

3.1 n维向量空间 K n K^n Kn

1、定义1：数域K上所有n元有序数组组成的集合 K n K^{n} Kn,连同定义在它上面的加法运算和数量乘法运算，以及满足的8条运算法则一起，称为数域K上的一个n维向量空间。 K n K^{n} Kn的元素称为n维向量；设向量 α = ( a 1 , a 2 , … , a n ) \alpha =(a_1,a_2,\dots,a_n) α=(a1​,a2​,…,an​)，称 a i a_i ai​是$\alpha$的第$i$个分量。

取定一个数域K，设n是任意给定的一个正整数。令
K n = { ( a 1 , a 2 , … , a n ) ∣ a i ∈ K , i = 1 , 2 , … , n } . K^n=\{(a_1,a_2,\dots,a_n)\space|\space a_i \in K,i=1,2,\dots,n\}. Kn={(a1​,a2​,…,an​) ∣ ai​∈K,i=1,2,…,n}.
如果 a 1 = b 1 , a 2 = b 2 , … , a n = b n a_1=b_1,a_2=b_2,\dots,a_n=b_n a1​=b1​,a2​=b2​,…,an​=bn​，则称 K n K^ n Kn中两个元素 ( a 1 , a 2 , … , a n ) (a_1,a_2,\dots,a_n) (a1​,a2​,…,an​)与 ( b 1 , b 2 , … , b n ) (b_1,b_2,\dots,b_n) (b1​,b2​,…,bn​)相等。

在 K n K^{n} Kn中规定加法运算如下：
( a 1 , a 2 , … , a n ) + ( b 1 , b 2 , … , b n ) = def ( a 1 + b 1 , a 2 + b 2 , … , a n + b n ) (a_1,a_2,\dots,a_n)+(b_1,b_2,\dots,b_n)\xlongequal{\text{def}}(a_1+b_1,a_2+b_2,\dots,a_n+b_n) (a1​,a2​,…,an​)+(b1​,b2​,…,bn​)def (a1​+b1​,a2​+b2​,…,an​+bn​)
在$K$的元素与 K n K^{n} Kn的元素之间规定数量乘法运算如下：
k ( a 1 , a 2 , … , a n ) = def ( k a 1 , k a 2 , … , k a n ) k(a_1,a_2,\dots,a_n) \xlongequal{\text{def}} (ka_1,ka_2,\dots,ka_n) k(a1​,a2​,…,an​)def (ka1​,ka2​,…,kan​)
容易直接验证加法和数量乘法满足下述8条运算法则：对于 α , β , γ ∈ K n ; k , l ∈ K \alpha ,\beta ,\gamma \in K^n ;\space k,l \in K α,β,γ∈Kn; k,l∈K 有

(1)$\alpha +\beta =\beta +\alpha$；

(2)$(\alpha +\beta )+\gamma =\alpha +(\beta +\gamma )$；

(3)把元素$(0,0,\dots ,0)$记作0，它使得
$$0+\alpha =\alpha +0=\alpha ,$$
称0是 K n K^n Kn的零元素；

(4)对于 α = ( a 1 , a 2 , … , a n ) ∈ K n \alpha=(a_1,a_2,\dots,a_n)\in K^n α=(a1​,a2​,…,an​)∈Kn，令
− α = def ( − a 1 , − a 2 , … , − a n ) ∈ K n , -\alpha \xlongequal{\text{def}} (-a_1,-a_2,\dots,-a_n) \in K^n, −αdef (−a1​,−a2​,…,−an​)∈Kn,
有
$$\alpha +(-\alpha )=(-\alpha )+\alpha =0,$$
称$-\alpha$是$\alpha$的负元素；

(5)$1\alpha =\alpha$;

(6)$(kl)\alpha =k(l\alpha )$;

(7)$(k+l)\alpha =k\alpha +l\alpha$;

(8)$k(\alpha +\beta )=k\alpha +k\beta$.

2、补充：

(1)通常用小写字母$\alpha ,\beta ,\gamma$表示向量。

(2)在n维向量空间 K n K^n Kn中，可以定义减法运算如下：
α − β = def α + ( − β ) . \alpha -\beta \xlongequal{\text{def}} \alpha +(-\beta). α−βdef α+(−β).
(3)在n维向量空间 K n K^n Kn中，容易直接验证下述4条性质：
0 α = 0 , ∀ α ∈ K n ; ( − 1 ) α = − α , ∀ α ∈ K n ; k 0 = 0 , ∀ k ∈ K ; k α = 0 ⟹ k = 0 或 α = 0 \begin{aligned} 0\alpha=\bold 0,& \qquad \forall \alpha \in K^n; \\ (-1)\alpha=-\alpha,& \qquad \forall \alpha \in K^n; \\ k\bold 0=\bold 0,& \qquad \forall k \in K; \\ k\alpha=\bold 0 \implies & k=0 \, 或 \, \alpha=\bold 0 \end{aligned} 0α=0,(−1)α=−α,k0=0,kα=0⟹​∀α∈Kn;∀α∈Kn;∀k∈K;k=0或α=0​
(4)n元有序数组写成一行，称为行向量；写成一列，称为列向量。 K n K^n Kn既是n维行向量组成的向量空间，也是n维列向量组成的向量空间。

(5)在 K n K^n Kn中，给定向量组 α 1 , α 2 , … , α s \alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_s α1​,α2​,…,αs​，对于 β ∈ K n \beta \in K^n β∈Kn，如果存在K中一组数 c 1 , c 2 , … , c s c_1,c_2,\dots,c_s c1​,c2​,…,cs​使得
β = c 1 α 1 + c 2 α 2 + ⋯ + c s α s , \beta=c_1\alpha_1+c_2\alpha_2+\dots+c_s\alpha_s, β=c1​α1​+c2​α2​+⋯+cs​αs​,
那么称$\beta$可以由 α 1 , α 2 , … , α s \alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_s α1​,α2​,…,αs​线性表出（示）。$\beta$是向量组 α 1 , α 2 , … , α s \alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_s α1​,α2​,…,αs​的一个线性组合，其中 c 1 , c 2 , … , c s c_1,c_2,\dots,c_s c1​,c2​,…,cs​称为系数。

3、定义2： K n K^n Kn的一个非空子集U如果满足：
( 1 ) α , γ ∈ U ⟹ α + γ ∈ U , ( 2 ) α ∈ U , k ∈ K ⟹ k α ∈ U , \begin{aligned} (1) \quad & \alpha,\gamma \in U \implies \alpha +\gamma \in U, \\ (2) \quad & \alpha \in U,k\in K \implies k\alpha \in U, \end{aligned} (1)(2)​α,γ∈U⟹α+γ∈U,α∈U,k∈K⟹kα∈U,​
那么称U是 K n K^n Kn的一个线性子空间，简称子空间。其中性质（1）称为U对于 K n K^n Kn的加法封闭；性质（2）称为U对于 K n K^n Kn的数量乘法封闭。

(1) {0}是 K n K^n Kn的一个子空间，称为零子空间。 K n K^n Kn本身也是 K n K^n Kn的一个子空间。

(2) 从而， K n K^n Kn中，向量组 α 1 , α 2 , … , α s \alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_s α1​,α2​,…,αs​的所有线性组合组成的集合W是 K n K^n Kn的一个子空间，称它为 α 1 , α 2 , … , α s \alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_s α1​,α2​,…,αs​生成（或张成）的子空间，记作
< α 1 , α 2 , … , α s > <\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_s> <α1​,α2​,…,αs​>
(3) 命题1：数域K上n元线性方程组 x 1 α 1 + x 2 α 2 + ⋯ + x n α n = β x_1\alpha_1+x_2\alpha_2+\dots+x_n\alpha_n=\beta x1​α1​+x2​α2​+⋯+xn​αn​=β有解
⟺ β 可 以 由 α 1 , α 2 , … , α n 线 性 表 出 ⟺ β ∈ < α 1 , α 2 , … , α n > \begin{aligned} \iff & \beta \, 可以由\, \alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n \,线性表出 \\ \iff & \beta \in <\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n> \end{aligned} ⟺⟺​β可以由α1​,α2​,…,αn​线性表出β∈<α1​,α2​,…,αn​>​

3.2 线性相关与线性无关的向量组

1、定义1： K n K^n Kn中向量组 α 1 , α 2 , … , α s ( s ⩾ 1 ) \alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_s(s\geqslant 1) α1​,α2​,…,αs​(s⩾1)称为是线性相关的，如果有K中不全为0的数 k 1 , k 2 , … , k s k_1,k_2,\dots,k_s k1​,k2​,…,ks​，使得
k 1 α 1 + ⋯ + k s α s = 0 k_1\alpha_1+\dots+k_s\alpha_s=\bold 0 k1​α1​+⋯+ks​αs​=0
2、定义2： K n K^n Kn中向量组 α 1 , α 2 , … , α s ( s ⩾ 1 ) \alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_s(s\geqslant 1) α1​,α2​,…,αs​(s⩾1)如果不是线性相关的，那么称为线性无关的。

3、从定义1和定义2显得：

（1）包含零向量的向量组一定线性相关 ( k 0 + α 2 + ⋯ + 0 α s = 0 ) (k\bold 0+\alpha_2+\dots+0\alpha_s=\bold 0) (k0+α2​+⋯+0αs​=0);

（2）单个向量$\alpha$线性相关当且仅当$\alpha =0(因为k\alpha =0,k\ne 0⟺\alpha =0)$;

从而单个向量$\alpha$线性无关当且仅当$\alpha \ne 0$;

（3） K n K^n Kn中，向量组
ε 1 = [ 1 0 0 ⋮ 0 0 ] , ε 2 = [ 0 1 0 ⋮ 0 0 ] , … , ε n = [ 0 0 0 ⋮ 0 1 ] , \varepsilon_1=\begin{bmatrix} 1 \\0\\0\\ \vdots \\0\\0\end{bmatrix}, \varepsilon_2=\begin{bmatrix} 0 \\1\\0\\ \vdots \\0\\0\end{bmatrix},\dots, \varepsilon_n=\begin{bmatrix} 0 \\0\\0\\ \vdots \\0\\1\end{bmatrix}, ε1​=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡​100⋮00​⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤​,ε2​=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡​010⋮00​⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤​,…,εn​=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡​000⋮01​⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤​,
是线性无关的。

4、向量组线性相关与线性无关区别：

（1）从线性组合看：
向 量 组 α 1 , … , α s ( s ⩾ 1 ) 线 性 相 关 ⟺ 它 们 有 系 数 不 全 为 0 的 线 性 组 合 等 于 零 向 量 ； 向 量 组 α 1 , … , α s ( s ⩾ 1 ) 线 性 无 关 ⟺ 它 们 只 有 系 数 全 为 0 的 线 性 组 合 才 会 等 于 零 向 量 。 \begin{aligned} &向量组\alpha_1,\dots,\alpha_s(s\geqslant1)线性相关 \\ \iff&它们有系数不全为0的线性组合等于零向量；\\ \\ &向量组\alpha_1,\dots,\alpha_s(s\geqslant 1)线性无关 \\ \iff&它们只有系数全为0的线性组合才会等于零向量。 \end{aligned} ⟺⟺​向量组α1​,…,αs​(s⩾1)线性相关它们有系数不全为0的线性组合等于零向量；向量组α1​,…,αs​(s⩾1)线性无关它们只有系数全为0的线性组合才会等于零向量。​
（2）从线性表出看：
向 量 组 α 1 , … , α s ( s ⩾ 2 ) 线 性 相 关 ⟺ 其 中 至 少 有 一 个 向 量 可 以 由 其 余 向 量 线 性 表 出 ； 向 量 组 α 1 , … , α s ( s ⩾ 2 ) 线 性 无 关 ⟺ 其 中 每 一 个 向 量 都 不 能 由 其 余 向 量 线 性 表 出 。 \begin{aligned} &向量组\alpha_1,\dots,\alpha_s(s\geqslant 2)线性相关 \\ \iff&其中至少有一个向量可以由其余向量线性表出；\\ \\ &向量组\alpha_1,\dots,\alpha_s(s\geqslant 2)线性无关 \\ \iff&其中每一个向量都不能由其余向量线性表出。 \end{aligned} ⟺⟺​向量组α1​,…,αs​(s⩾2)线性相关其中至少有一个向量可以由其余向量线性表出；向量组α1​,…,αs​(s⩾2)线性无关其中每一个向量都不能由其余向量线性表出。​

（3）从齐次线性方程组看：
列 向 量 组 α 1 , … , α s ( s ⩾ 1 ) 线 性 相 关 ⟺ 齐 次 线 性 方 程 组 x 1 α 1 + ⋯ + x s α s = 0 有 非 零 解 ； 列 向 量 组 α 1 , … , α s ( s ⩾ 1 ) 线 性 无 关 ⟺ 齐 次 线 性 方 程 组 x 1 α 1 + ⋯ + x s α s = 0 只 有 零 解 。 \begin{aligned} &列向量组\alpha_1,\dots,\alpha_s(s\geqslant 1)线性相关 \\ \iff&齐次线性方程组x_1\alpha_1+\dots+x_s\alpha_s=\bold 0有非零解；\\ \\ &列向量组\alpha_1,\dots,\alpha_s(s\geqslant 1)线性无关 \\ \iff&齐次线性方程组x_1\alpha_1+\dots+x_s\alpha_s=\bold 0只有零解。 \end{aligned} ⟺⟺​列向量组α1​,…,αs​(s⩾1)线性相关齐次线性方程组x1​α1​+⋯+xs​αs​=0有非零解；列向量组α1​,…,αs​(s⩾1)线性无关齐次线性方程组x1​α1​+⋯+xs​αs​=0只有零解。​

（4）从行列式看：
n 个 n 维 列 （ 行 ） 向 量 α 1 , … , α n ( s ⩾ 1 ) 线 性 相 关 ⟺ 以 α 1 , … , α n 为 列 （ 行 ） 向 量 组 的 矩 阵 的 行 列 式 等 于 零 ； n 个 n 维 列 （ 行 ） 向 量 α 1 , … , α n ( s ⩾ 1 ) 线 性 无 关 ⟺ 以 α 1 , … , α n 为 列 （ 行 ） 向 量 组 的 矩 阵 的 行 列 式 不 等 于 零 。 \begin{aligned} &n个n维列（行）向量\alpha_1,\dots,\alpha_n(s\geqslant 1)线性相关 \\ \iff&以\alpha_1,\dots,\alpha_n为列（行）向量组的矩阵的行列式等于零；\\ \\ &n个n维列（行）向量\alpha_1,\dots,\alpha_n(s\geqslant 1)线性无关 \\ \iff&以\alpha_1,\dots,\alpha_n为列（行）向量组的矩阵的行列式不等于零。 \end{aligned} ⟺⟺​n个n维列（行）向量α1​,…,αn​(s⩾1)线性相关以α1​,…,αn​为列（行）向量组的矩阵的行列式等于零；n个n维列（行）向量α1​,…,αn​(s⩾1)线性无关以α1​,…,αn​为列（行）向量组的矩阵的行列式不等于零。​

（5）从向量组线性表出一个向量的方式看：
设 向 量 β 可 以 由 向 量 组 α 1 , … , α s 线 性 表 出 ， 则 向 量 组 α 1 , … , α s 线 性 无 关 ⟺ 表 出 方 式 唯 一 ； 向 量 组 α 1 , … , α s 线 性 相 关 ⟺ 表 出 方 式 有 无 穷 多 种 。 \begin{aligned} 设向量\beta 可以由向量组\alpha_1,\dots,\alpha_s线性表出，则 \\ 向量组\alpha_1,\dots,\alpha_s线性无关 \iff&表出方式唯一；\\ 向量组\alpha_1,\dots,\alpha_s线性相关 \iff&表出方式有无穷多种。 \end{aligned} 设向量β可以由向量组α1​,…,αs​线性表出，则向量组α1​,…,αs​线性无关⟺向量组α1​,…,αs​线性相关⟺​表出方式唯一；表出方式有无穷多种。​

（6）从向量组与它的部分组的关系看：
如 果 向 量 组 的 一 个 部 分 组 线 性 相 关 ， 那 么 整 个 向 量 组 也 线 性 相 关 。 如 果 向 量 组 线 性 无 关 ， 那 么 它 的 任 何 一 个 部 分 组 也 线 性 无 关 。 \begin{aligned} &如果向量组的一个部分组线性相关，那么整个向量组也线性相关。 \\ &如果向量组线性无关，那么它的任何一个部分组也线性无关。 \end{aligned} ​如果向量组的一个部分组线性相关，那么整个向量组也线性相关。如果向量组线性无关，那么它的任何一个部分组也线性无关。​

（7）从向量组与它的延伸组或缩短组的关系看：
如 果 向 量 组 线 性 无 关 ， 那 么 把 每 个 向 量 添 上 m 个 分 量 （ 所 添 分 量 位 置 对 于 每 个 向 量 都 一 样 ） 得 到 的 延 伸 组 也 线 性 无 关 。 如 果 向 量 组 线 性 相 关 ， 那 么 把 每 个 向 量 去 掉 m 个 分 量 （ 去 掉 的 分 量 位 置 对 于 每 个 向 量 都 一 样 ） 得 到 的 缩 短 组 也 线 性 相 关 。 \begin{aligned} &如果向量组线性无关，那么把每个向量添上m个分量（所添分量位置对于每个向量都一样）得到的延伸组也线性无关。 \\ &如果向量组线性相关，那么把每个向量去掉m个分量（去掉的分量位置对于每个向量都一样）得到的缩短组也线性相关。 \end{aligned} ​如果向量组线性无关，那么把每个向量添上m个分量（所添分量位置对于每个向量都一样）得到的延伸组也线性无关。如果向量组线性相关，那么把每个向量去掉m个分量（去掉的分量位置对于每个向量都一样）得到的缩短组也线性相关。​
5、命题1：设向量组 α 1 , … , α s \alpha_1,\dots,\alpha_s α1​,…,αs​线性无关，则向量$\beta$可以由 α 1 , … , α s \alpha_1,\dots,\alpha_s α1​,…,αs​线性表出的充分必要条件是 α 1 , … , α s , β \alpha_1,\dots,\alpha_s,\beta α1​,…,αs​,β线性相关。

推论1：设向量组 α 1 , … , α s \alpha_1,\dots,\alpha_s α1​,…,αs​线性无关，则向量$\beta$不能由 α 1 , … , α s \alpha_1,\dots,\alpha_s α1​,…,αs​线性表出的充分必要条件是 α 1 , … , α s , β \alpha_1,\dots,\alpha_s,\beta α1​,…,αs​,β线性无关。

6、替换定理：设向量组 α 1 , … , α s \alpha_1,\dots,\alpha_s α1​,…,αs​线性无关， β = b 1 α 1 , … , b s α s \beta=b_1\alpha_1,\dots,b_s\alpha_s β=b1​α1​,…,bs​αs​。如果 b i ≠ 0 b_i\not=0 bi​​=0，那么用$\beta$替换 α i \alpha_i αi​后得到的向量组 α 1 , … , α i − 1 , β , α i + 1 , … , α s \alpha_1,\dots,\alpha_{i-1},\beta,\alpha_{i+1},\dots,\alpha_s α1​,…,αi−1​,β,αi+1​,…,αs​也线性无关。

3.3 向量组的秩

1、定义1：向量组的一个部分组称为一个极大线性无关组，如果这个部分组本身是线性无关的，但是从这个向量组的其余向量（如果还有的话）中任取一个添进去，得到的新的部分组都线性相关。

2、定义2：如果向量组 α 1 , … , α s \alpha_1,\dots,\alpha_s α1​,…,αs​的每一个向量都可以由向量组 β 1 , … , β r \beta_1,\dots,\beta_r β1​,…,βr​线性表出，那么称向量组 α 1 , … , α s \alpha_1,\dots,\alpha_s α1​,…,αs​可以由向量组 β 1 , … , β r \beta_1,\dots,\beta_r β1​,…,βr​线性表出。如果向量组 α 1 , … , α s \alpha_1,\dots,\alpha_s α1​,…,αs​与向量组 β 1 , … , β r \beta_1,\dots,\beta_r β1​,…,βr​可以相互线性表出，那么称向量组 α 1 , … , α s \alpha_1,\dots,\alpha_s α1​,…,αs​与向量组 β 1 , … , β r \beta_1,\dots,\beta_r β1​,…,βr​等价，记作
{ α 1 , … , α s } ≅ { β 1 , … , β r } \{\alpha_1,\dots,\alpha_s\}\cong\{\beta_1,\dots,\beta_r\} {α1​,…,αs​}≅{β1​,…,βr​}
向量组的等价是向量组之间的一种关系。可以证明其具有以下三种性质：
( 1 ) 反 身 性 。 即 任 何 一 个 向 量 组 都 与 自 身 等 价 ； ( 2 ) 对 称 性 。 即 如 果 α 1 , … , α s 与 β 1 , … , β r 等 价 ， 那 么 β 1 , … , β r 与 α 1 , … , α s 等 价 ； ( 3 ) 传 递 性 。 即 如 果 { α 1 , … , α s } ≅ { β 1 , … , β r } , { β 1 , … , β r } ≅ { γ 1 , … , γ t } ， 那 么 { α 1 , … , α s } ≅ { γ 1 , … , γ t } 。 \begin{aligned} &(1)反身性。即任何一个向量组都与自身等价； \\ &(2)对称性。即如果\alpha_1,\dots,\alpha_s与\beta_1,\dots,\beta_r 等价，那么\beta_1,\dots,\beta_r与\alpha_1,\dots,\alpha_s等价； \\ &(3)传递性。即如果 \\ &\qquad \{\alpha_1,\dots,\alpha_s\}\cong\{\beta_1,\dots,\beta_r\},\{\beta_1,\dots,\beta_r\}\cong\{\gamma_1,\dots,\gamma_t\}， \\ &那么\qquad \qquad \qquad \{\alpha_1,\dots,\alpha_s\}\cong\{\gamma_1,\dots,\gamma_t\}。 \end{aligned} ​(1)反身性。即任何一个向量组都与自身等价；(2)对称性。即如果α1​,…,αs​与β1​,…,βr​等价，那么β1​,…,βr​与α1​,…,αs​等价；(3)传递性。即如果{α1​,…,αs​}≅{β1​,…,βr​},{β1​,…,βr​}≅{γ1​,…,γt​}，那么{α1​,…,αs​}≅{γ1​,…,γt​}。​
3、命题1：向量组与它的极大线性无关组等价。

推论1：向量组的任意两个极大线性无关组等价。

推论2：$\beta$可以由向量组 α 1 , … , α s \alpha_1,\dots,\alpha_s α1​,…,αs​线性表出当且仅当$\beta$可以由 α 1 , … , α s \alpha_1,\dots,\alpha_s α1​,…,αs​的一个极大线性无关组线性表出。

4、引理1：设向量组 β 1 , … , β r \beta_1,\dots,\beta_r β1​,…,βr​可以由向量组 α 1 , … , α s \alpha_1,\dots,\alpha_s α1​,…,αs​线性表出，如果$r>s$，那么 β 1 , … , β r \beta_1,\dots,\beta_r β1​,…,βr​线性相关。

推论3：设向量组 β 1 , … , β r \beta_1,\dots,\beta_r β1​,…,βr​可以由向量组 α 1 , … , α s \alpha_1,\dots,\alpha_s α1​,…,αs​线性表出，如果 β 1 , … , β r \beta_1,\dots,\beta_r β1​,…,βr​线性无关，那么$r⩽s$。

推论4：等价的线性无关的向量组所含向量的个数相等。

推论5：向量组的任意两个极大线性无关组所含向量的个数相等。

5、定义3：向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩。

全由零向量组成的向量组的秩规定为0。

向量组 α 1 , … , α s \alpha_1,\dots,\alpha_s α1​,…,αs​的秩记作 r a n k { α 1 , … , α s } rank\{\alpha_1,\dots,\alpha_s\} rank{α1​,…,αs​}。

6、命题2：向量组 α 1 , … , α s \alpha_1,\dots,\alpha_s α1​,…,αs​线性无关的充分必要条件是它的秩等于它所含向量的个数。

7、命题3：如果向量组（1）可以由向量组（2）线性表出，那么：（1）的秩$⩽$（2）的秩

8、命题4：等价的向量组有相等的秩。（注意：秩相等的向量组不一定等价）

3.4 子空间的基与维数

1、定义1：设U是 K n K^n Kn的一个子空间，如果 α 1 , … , α r ∈ U \alpha_1,\dots,\alpha_r \in U α1​,…,αr​∈U,并且满足下述两个条件：
( 1 ) α 1 , … , α r 线 性 无 关 ， ( 2 ) U 中 每 一 个 向 量 都 可 以 由 α 1 , … , α r 线 性 表 出 ， \begin{aligned} &(1)\alpha_1,\dots,\alpha_r线性无关，\\ &(2)U中每一个向量都可以由\alpha_1,\dots,\alpha_r线性表出， \end{aligned} ​(1)α1​,…,αr​线性无关，(2)U中每一个向量都可以由α1​,…,αr​线性表出，​
那么称 α 1 , … , α r \alpha_1,\dots,\alpha_r α1​,…,αr​是U的一个基。

显然， ε 1 , … , ε n \varepsilon_1,\dots,\varepsilon_n ε1​,…,εn​是 K n K^n Kn的一个基，称它为 K n K^n Kn的标准基。

2、定理1： K n K^n Kn的任一非零子空间U都有一个基。

3、定理2： K n K^n Kn的非零子空间U的任意两个基所含的向量的个数相等。

4、定义2： K n K^n Kn的非零子空间U的一个基所含向量的个数称为U的维数，记作 d i m K U dim_K\, U dimK​U，或者$dimU$。

零子空间的维数规定为0。

因为 d i m K n = n dim \, K^n=n dimKn=n，所以称 K n K^n Kn为n维向量空间。

对于 α = a 1 α 1 + ⋯ + a r α r \alpha=a_1\alpha_1+\dots+a_r\alpha_r α=a1​α1​+⋯+ar​αr​，把有序数组 ( a 1 , … , a r ) (a_1,\dots,a_r ) (a1​,…,ar​)称为$\alpha$在基 α 1 , … , α r \alpha_1,\dots,\alpha_r α1​,…,αr​下的坐标。

5、命题1：设$dimU=r$，则U中任意r+1个向量都线性相关。

6、命题2：设$dimU=r$，则U中任意r个线性无关的向量都是U的一个基。

7、命题3：设$dimU=r$，设 α 1 , … , α r ∈ U \alpha_1,\dots,\alpha_r \in U α1​,…,αr​∈U。如果U中每一个向量都可以由$\alpha_1,\dots,\alpha_r $线性表出，那么$\alpha_1,\dots,\alpha_r $是U的一个基。

8、命题4：设U和W都是 K n K^n Kn的非零子空间，如果$U\subseteq W$，那么$dimU⩽dimW$。

9、命题5：设U和W是 K n K^n Kn的两个非零子空间，且$U\subseteq W$，如果$dimU=dimW$，那么$U=W$。

10、定理3：向量组 α 1 , … , α s \alpha_1,\dots,\alpha_s α1​,…,αs​的一个极大线性无关组是这个向量组生成的子空间 < α 1 , … , α s > <\alpha_1,\dots,\alpha_s> <α1​,…,αs​>的一个基，从而
d i m < α 1 , … , α s > = r a n k { α 1 , … , α s } . dim<\alpha_1,\dots,\alpha_s>=rank\{\alpha_1,\dots,\alpha_s\}. dim<α1​,…,αs​>=rank{α1​,…,αs​}.

3.5 矩阵的秩

1、定理1：阶梯型矩阵J的行秩与列秩相等，它们都等于J的非零行的个数；并且J的主元所在的列构成列向量的一个极大线性无关组。

2、定理2：矩阵的初等行变换不改变矩阵的行秩。

3、定理3：矩阵的初等行变换不改变矩阵的列向量组的线性相关性，从而不改变矩阵的列秩。

4、定理4：任一矩阵A的行秩等于它的列秩。

5、定义1：矩阵A的行秩与列秩统称为A的秩，记作$rank(A)$。

6、推论1：设矩阵A经过初等行变换化成阶梯型矩阵J，则A的秩等于J的非零行个数。设J的主元所在的列是第 j 1 , j 2 , … , j r j_1,j_2,\dots,j_r j1​,j2​,…,jr​列，则A的第 j 1 , j 2 , … , j r j_1,j_2,\dots,j_r j1​,j2​,…,jr​列构成A的列向量组的一个极大线性无关组。

7、推论2：矩阵的初等列变换不改变矩阵的秩。

8、定理5：任一非零矩阵的秩等于它的不为零的子式的最高阶数。

9、推论3：设$s\times n$矩阵A的秩为r，则A的不等于零的r阶子式所在的列（行）构成A的列（行）向量组的一个极大线性无关组。

10、推论4：n级矩阵A满秩的充分必要条件是$|A|\ne 0$。

3.6 线性方程组有解的充分必要条件

1、定理1（线性方程组有解判别定理）：数域K上线性方程组
x 1 α 1 + ⋯ + x n α n = β (1) x_1\alpha_1+\dots+x_n\alpha_n=\beta \tag{1} x1​α1​+⋯+xn​αn​=β(1)
有解的充分必要条件是：它的系数矩阵与增广矩阵的秩相等。

2、定理2：数域K上n元线性方程组（1）有解时，如果它的系数矩阵等于n，那么方程组（1）有唯一解；如果A的秩小于n，那么方程组（1）有无穷多个解。

推论1：齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是：它的系数矩阵的秩小于未知量的个数。

3.7 齐次线性方程组的解集的结构

数域K上n元齐次线性方程组
x 1 α 1 + ⋯ + x n α n = 0 (1) x_1\alpha_1+\dots+x_n\alpha_n=\bold 0\tag{1} x1​α1​+⋯+xn​αn​=0(1)
的一个解是 K n K^n Kn中一个向量，称它为齐次线性方程组（1）的一个解向量。齐次线性方程组（1）的解集W是 K n K^n Kn的一个非空子集。

性质1：若$\gamma ,\delta \in W$，则$\gamma +\delta \in W.$

性质2：$若\gamma \in W,k\in K,则k\gamma \in W.$

由上述得，齐次线性方程组（1）的解集W是 K n K^n Kn的一个子空间，称它为方程组（1）的解空间。如果方程组（1）的系数矩阵A的秩等于n，那么 W = { 0 } W=\{\bold 0 \} W={0}。如果$rank(A)<n$，那么W是非零子空间。从而W有基。把解空间W的一个基称为齐次线性方程组（1）的一个基础解系，即：

定义1：齐次线性方程组（1）有非零解时，如果它的有限多个解 η 1 , η 2 , … , η t \eta_1,\eta_2,\dots,\eta_t η1​,η2​,…,ηt​满足：
( 1 ) η 1 , η 2 , … , η t 线 性 无 关 ； ( 2 ) 齐 次 线 性 方 程 组 （ 1 ） 的 每 一 个 解 都 可 以 由 η 1 , η 2 , … , η t 线 性 表 出 ， \begin{aligned} &(1)\eta_1,\eta_2,\dots,\eta_t 线性无关；\\ &(2)齐次线性方程组（1）的每一个解都可以由\eta_1,\eta_2,\dots,\eta_t 线性表出， \end{aligned} ​(1)η1​,η2​,…,ηt​线性无关；(2)齐次线性方程组（1）的每一个解都可以由η1​,η2​,…,ηt​线性表出，​
那么称 η 1 , η 2 , … , η t \eta_1,\eta_2,\dots,\eta_t η1​,η2​,…,ηt​是齐次线性方程组（1）的一个基础解系。其解集W表示为：
W = { k 1 η 1 + k 2 η 2 + ⋯ + k t η t ∣ k i ∈ K , i = 1 , 2 , … , t } . W=\{k_1\eta_1+k_2\eta_2+\dots+k_t\eta_t \,|\,k_i \in K,i=1,2,\dots,t\}. W={k1​η1​+k2​η2​+⋯+kt​ηt​∣ki​∈K,i=1,2,…,t}.
通常也说齐次线性方程组（1）的全部解是：
k 1 η 1 + k 2 η 2 + ⋯ + k t η t , k 1 , k 2 , … , k i ∈ K k_1\eta_1+k_2\eta_2+\dots+k_t\eta_t \, ,\,k_1,k_2,\dots,k_i \in K k1​η1​+k2​η2​+⋯+kt​ηt​,k1​,k2​,…,ki​∈K
定理1：数域K上n元齐次线性方程组的解空间W的维数为
$$dimW=n-rank(A),\text{\hspace{1em}(2)}$$
其中A是方程组的系数矩阵。从而当齐次线性方程组（1）有非零解时，它的每个基础解系所含解向量的个数都等于$n-rank(A)$。

3.8 非齐次线性方程组的解集的结构

对于数域K上n元非齐次线性方程组
x 1 α 1 + ⋯ + x n α n = β (1) x_1\alpha_1+\dots+x_n\alpha_n=\beta \tag{1} x1​α1​+⋯+xn​αn​=β(1)
设其解集为U。为此考虑相应的齐次线性方程组
x 1 α 1 + ⋯ + x n α n = 0 (2) x_1\alpha_1+\dots+x_n\alpha_n=\bold 0\tag{2} x1​α1​+⋯+xn​αn​=0(2)
称它为非齐次线性方程组（1）的导出组。导出组的解空间用W表示。

性质1：若$\gamma ,\delta \in U$，则$\gamma -\delta \in W.$

性质2：$若\gamma \in U,\eta \in W,则\gamma +\eta \in U.$

定理1：如果数域K上n元非齐次线性方程组（1）有解，那么它的解集U为
U = { γ 0 + η ∣ η ∈ W } , (3) U=\{\gamma_0+\eta \, | \, \eta \in W\}, \tag{3} U={γ0​+η∣η∈W},(3)
其中 γ 0 \gamma_0 γ0​是非齐次线性方程组（1）的一个解（称 γ 0 \gamma_0 γ0​是特解），W是方程组（1）的导出组的解空间。

我们把集合 { γ 0 + η ∣ η ∈ W } \{\gamma_0+\eta \, | \, \eta \in W\} {γ0​+η∣η∈W}记作 γ 0 + W \gamma_0+W γ0​+W。称它是一个W型的线性流形（或子空间W的一个陪集），把$dimW$称为线性流形 γ 0 + W \gamma_0+W γ0​+W的维数。

注：U不是子空间，因为U对于加法和数乘都不封闭。

推论1：如果n元非齐次线性方程组（1）有解，那么它的解唯一的充分必要条件是：它的导出组（2）只有零解。

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