1.2 线性变换及其矩阵

1.2.1 线性变换及其运算

1、线性变换的定义

  请注意：

 
2、由例1.11和例1.12得，微分和积分 从变换(或算子)的角度来看都是线性变换
 
3、线性变换的性质
  ①线性变换把线性空间的零向量变为零向量

  ②把向量$\mathbf{x}$的负向量$-\mathbf{x}$变为$\mathbf{x}$的象$T\mathbf{x}$的负向量$-T\mathbf{x}$

  ③线性变换把线性相关的向量组仍变为线性相关的向量组


 
4、单位变换的定义


 
5、零变换的定义

 
6、变换相等的定义

 
7、线性空间的线性变换的运算
①加法

• 定义
  

• 线性变换T的负变化
  (注意区分 $T(-\mathbf{x})=T((-1)\mathbf{x})=(-1)T\mathbf{x}=-T\mathbf{x}$)
  

• 线性变换加法的性质
  

②数乘

• 定义
  
• 线性变换数乘的性质
  
• 线性空间的同态
  

③乘法

• 定义
  
• 注意：
  

④逆变换

• 定义
  
• 注意：
  

⑤线性变换的多项式

• 线性变换的n次幂
  
• 线性变换的零次幂
  
• 线性变换的指数法则
  
• 线性变换负整数次幂
  
• 线性变换的多项式
  
• 注意：同一线性变换的多项式相乘是可交换的
  

 
考试必会！！

1.2.2 线性变换的矩阵表示

1、线性变换的矩阵

 
2、线性变换的值域和核

• 值域
  
• 核
  
  注意:线性空间V的线性变换T的值域和核都是V的线性子空间

 
3、线性变换的秩和亏 (亏也被称为零度)


注意:

 
4、线性变换的结论

• 基本性质
  
• 推论
  
• 必会必会
  

 
5、这个会考的！

 
6、相似矩阵

• 定义
  
• 相似矩阵在线性变换中的定理
  
• 相似矩阵运算性质
  

 
7、必考！！！！

1.2.3 特征值与特征向量

1、特征值与特征向量

• 定义:
  
• 几何意义:在几何上，特征向量$\mathbf{x}$的方位，经过线性变换后保持不变
• 特征值和特征向量对应关系
  

 
2、特征值和特征向量的求法

• 特征矩阵
  

• 特征多项式
  

• 步骤
  

 
3、特征子空间

 
4、特征多项式有关性质

• ∣ A ∣ = λ 1 λ 2 ⋯ λ n |\boldsymbol{A}|=\lambda_{1} \lambda_{2} \cdots \lambda_{n} ∣A∣=λ1​λ2​⋯λn​
• t r A = λ 1 + λ 2 + ⋯ + λ n tr\boldsymbol{A}=\lambda_{1} +\lambda_{2}+ \cdots + \lambda_{n} trA=λ1​+λ2​+⋯+λn​
  （$tr\mathbf{A}$为A的迹）
• 相似矩阵有相同的迹
• 定理14，相似矩阵有相同的特征多项式 ， 因此也有相同的特征值
  
  
• 任意n阶矩阵A与三角矩阵相似

 
5 、Hamilton─Caylay 定理

 
6、最小多项式

• 定义:
  
• 性质:
  

• 求法
  

1.2.4 对角矩阵

1、可对角化

• 线性变化T可对角化
  
• 矩阵A可对角化
  

 
2、可对角化的条件

 
3、相关定理

 
4、对角化的一般方法

1.2.5 不变子空间

1、不变子空间

• 定义
  
• 性质
  
• 一些重要的不变子空间
  
  

 
2、相关定理

1.2.6 Jordan标准型

1、引入

 
2、$\lambda$矩阵

• 定义
  
• 初等变换 (和普通矩阵一样)
  

 
3、$\lambda$矩阵的行列式因子(重要)

example:

 
4、初等变换法求初等因子

example：

 
5、Jordan标准型

 
6、Jordan标准型相关定理

前面由①不变因子(行列式法)求初等因子②初等变换法求初等因子 的例题中

因此:

 
7、初等因子性质 (???)

 
8、Jordan标准型的求法

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