简单的拓扑学习

球

欧几里得空间

中心 c ∈ R n \mathbf{c}\in\mathbb{R}^n c∈Rn，半径$r$的开球（open ball）表示为$B\left(\mathbf{c},r\right)$,定义为
B ( c , r ) = { x ∈ R n : ∥ x − c ∥ < r } B\left(\mathbf{c}, r\right) = \left\{\mathbf{x}\in\mathbb{R}^n:\|\mathbf{x}-\mathbf{c}\|B(c,r)={x∈Rn:∥x−c∥<r}
中心 c ∈ R n \mathbf{c}\in\mathbb{R}^n c∈Rn，半径$r$的闭球（closed ball）表示为$B\left[\mathbf{c},r\right]$,定义为
B [ c , r ] = { x ∈ R n : ∥ x − c ∥ ≤ r } B\left[\mathbf{c}, r\right] = \left\{\mathbf{x}\in\mathbb{R}^n:\|\mathbf{x}-\mathbf{c}\|\le r\right\} B[c,r]={x∈Rn:∥x−c∥≤r}

一般度量空间里的球

令$\left(M,d\right)$为一度量空间，即具有度量（距离函数）$d$的集合$M$

中心为$r$的开球，通常标记为 B r ( p ) B_r\left(p\right) Br​(p)或$B\left(p;r\right)$，定义为

B r ( p ) = { x ∈ M ∣ d ( x , p ) < r } B_r\left(p\right) = \left\{x\in M| d\left(x,p\right)Br​(p)={x∈M∣d(x,p)<r}
其闭球，可标记为 B r [ p ] B_r\left[p\right] Br​[p]或$B\left[p;r\right]$，定义为
B r [ p ] = { x ∈ M ∣ d ( x , p ) ≤ r } B_r\left[p\right] = \left\{x\in M| d\left(x,p\right)\le r\right\} Br​[p]={x∈M∣d(x,p)≤r}

内部

内点

给定 U ⊆ R n U\subseteq \mathbb{R}^n U⊆Rn，如果存在$r>0$使得$B\left(\mathbf{c},r\right)\subseteq U$，则点$\mathbf{c}\in U$为$U$的内点（interior point）

这个定义可以推广到度量空间$X$的任意子集$S$。具体地说，对具有度量$d$的度量空间$X$，$x$是$S$的内点，若对任意不属于$S$或在$S$边界上的$y$，都有$d(x,y)>0$。

这个定义也可以推广到拓扑空间，只需要用邻域替代“开球”。 设 $S$ 是拓扑空间$X$的子集，则$x$是$S$的内点，若存在$x$邻域被包含于$S$。注意，这个定义并不要求邻域是开的。

内部

给定集合$U$，所有内点构成的集合称为集合的内部，表示为$int(U)$,定义为:
i n t ( U ) = { x ∈ U : B ( x , r ) ⊆ U for some  r > 0 } int\left(U\right)=\left\{\mathbf{x}\in U:B\left(\mathbf{x},r\right)\subseteq U \text{for some }r >0\right\} int(U)={x∈U:B(x,r)⊆Ufor some r>0}

边界

边界点

边界点（boundary point）：给定集合 U ⊆ R n U\subseteq \mathbb{R}^n U⊆Rn，$U$的边界点 x ∈ R n \mathbf{x}\in\mathbb{R}^n x∈Rn满足下面条件：
$\mathbf{x}$的任何领域至少包含一个点属于$U$，且至少包含一个点属于 U c U^c Uc（$U$的补集）

边界

给定集合$U$，所有$U$的边界点构成的集合称为边界，记为$bd\left(U\right)$或$\partial U$

等价定义：
1.闭包减去内部： ∂ S : = S ˉ \ int ⁡ X S \partial S:=\bar{S} \backslash \operatorname{int}_X S ∂S:=Sˉ\intX​S
2.闭包和其补集的闭包的交集： ∂ S : = S ˉ ∩ ( X \ S ) ‾ \partial S:=\bar{S} \cap \overline{(X \backslash S)} ∂S:=Sˉ∩(X\S)​
3.边界点集合
∂ S : = { p ∈ X : for every neighborhood  O of  p , O ∩ S ≠ ∅ and  O ∩ ( X \ S ) ≠ ∅ } .  \partial S:=\{p \in X: \text { for every neighborhood } O \text { of } p, O \cap S \neq \varnothing \text { and } O \cap(X \backslash S) \neq \varnothing\} \text {. } ∂S:={p∈X: for every neighborhood O of p,O∩S=∅ and O∩(X\S)=∅}. 

极限点

极限点（limit point, accumulation point, cluster point）：$x$的任意邻域至少包含$S$中除了$x$以外的点

如果$X$是一个 T 1 T_1 T1​空间（例如度量空间）则$x\in X$是一个$S$的极限点当且仅当$x$的邻域包含$S$的无限个点

如果$X$是一个Fréchet–Urysohn空间（例如所有度量空间），则$x\in X$是$S$的极限点当且仅当一个 S \ { x } S\backslash \left\{x\right\} S\{x}序列的极限为$x$

$S$的极限点的集合称为$S$的导集（derived set）

开集

开集是一个只包含内部点的集合，即
$$\forall \mathbf{x}\in U,\exists r>0,B\left(\mathbf{x},r\right)\subseteq U$$

开集例子： R n , R + + n \mathbb{R}^n, \mathbb{R}_{++}^n Rn,R++n​

开集的并集是开集
有限个开集的交集是开集

闭集

集合 U ⊆ R n \mathbf{U}\subseteq \mathbb{R}^n U⊆Rn是闭集，若它包含所有极限点；
即，$U$是闭集，若所有序列 { x i } i ⊆ U \left\{\mathbf{x}_i\right\}_i \subseteq U {xi​}i​⊆U满足当$i\to \infty$时， x i → x ∗ \mathbf{x}_i\to \mathbf{x}^* xi​→x∗，有 x ∗ ∈ U \mathbf{x}^*\in U x∗∈U

闭集等价定义：若一个集合的补集是开集，则这个集合是闭集

证明：
假设$U$是闭集，取 x ∈ U c x\in U^c x∈Uc，有$x\notin U$，因此$x$不是$U$的极限点
进而存在$x$的邻域$N$，使得$U\cap N=\varnothing$
于是 N ⊆ U c N\subseteq U^c N⊆Uc，即$x$是 U c U^c Uc的内点
于是 U c U^c Uc是开的

假设 U c U^c Uc是开集
设$x$是$U$的极限点，现在要证明$x\in U$
因为是极限点，所以$x$的邻域包含$x$以外$U$中的点，即$x$的邻域不完全包含于 U c U^c Uc
因此 x ∉ U c x\notin U^c x∈/Uc，进而$x\in U$，所以$U$为闭集

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