二阶常系数齐次线性微分方程（结论）

二阶常系数齐次线性微分方程

方程： y ′ ′ + p y ′ + q y = 0 y{''}+py{'}+qy=0 y′′+py′+qy=0 称为二阶常系数齐次线性微分方程, 其中$pq$均为常数

如果 y 1 y 2 y_1\ y_2 y1​ y2​是方程的两个线性无关解, 那么 y = C 1 y 1 + C 2 y 2 y=C_1y_1+C_2y_2 y=C1​y1​+C2​y2​就是它的通解.

若能适当选取$r$, 使 y = e r x y=e^{rx} y=erx 满足二阶常系数齐次线性微分方程,

将 y = e r x y=e^{rx} y=erx代入方程 y ′ ′ + p y ′ + q y = 0 y{''}+py{'}+qy=0 y′′+py′+qy=0

得 ( r 2 + p r + q ) e r x = 0 (r^2+pr+q) e^{rx} =0 (r2+pr+q)erx=0

由此可见, 只要$r$满足代数方程 r 2 + p r + q = 0 r^2+pr+q=0 r2+pr+q=0, 函数 y = e r x y=e^{rx} y=erx就是微分方程的解

方程 r 2 + p r + q = 0 r^2+pr+q=0 r2+pr+q=0 叫做微分方程 y ′ ′ + p y ′ + q y = 0 y{''}+py{'}+qy=0 y′′+py′+qy=0 的特征方程

特征方程的根与通解的关系:

(1)特征方程有两个不相等的实根 r 1 r 2 r_1 r_2 r1​r2​时:

函数 y 1 = e r 1 x y 2 = e r 2 x y_1=e^{r_1x}\ \ y_2=e^{r_2x} y1​=er1​x  y2​=er2​x 是方程的两个线性无关的解.

因为： y 1 y 2 = e r 1 x e r 2 x = e ( r 1 − r 2 ) x \frac{y_1}{y_2}=\frac{e^{r_1x}}{e^{r_2x}}=e^{(r_1-r_2)x} y2​y1​​=er2​xer1​x​=e(r1​−r2​)x不是常数

因此，方程通解为： y = C 1 e r 1 x + C 2 e r 2 x y=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x} y=C1​er1​x+C2​er2​x

(2)特征方程有两个相等的实根 r 1 = r 2 r_1=r_2 r1​=r2​时;

函数 y 1 = e r 1 x y 2 = x e r 1 x y_1=e^{r_1x}\ \ y_2=xe^{r_1x} y1​=er1​x  y2​=xer1​x 是方程的两个线性无关的解.

因为：

( x e r 1 x ) ′ ′ + p ( x e r 1 x ) ′ + q ( x e r 1 x ) (xe^{r_1x}){''}+p(xe^{r_1x})'+q(xe^{r_1x}) (xer1​x)′′+p(xer1​x)′+q(xer1​x)

= e r 1 x ( 2 r 1 + p ) + x e r 1 x ( r 2 + p r + q ) = 0 =e^{r_1x}(2r_1+p)+xe^{r_1x}(r^2+pr+q)=0 =er1​x(2r1​+p)+xer1​x(r2+pr+q)=0

所以 y 2 = x e r 1 x y_2=xe^{r_1x} y2​=xer1​x也是方程的解 且 y 1 y 2 = e r 1 x x e r 1 x = 1 x \frac{y_1}{y_2}= \frac{e^{r_1x}}{xe^{r_1x}}=\frac{1}{x} y2​y1​​=xer1​xer1​x​=x1​不是常数

所以方程的通解为： y = C 1 e r 1 x + C 2 x e r 1 x y=C_1e^{r_1x}+C_2xe^{r_1x} y=C1​er1​x+C2​xer1​x

(3)特征方程有一对共轭复根 r 1 r 2 = a ± i b r_1\ r_ 2=a\pm ib r1​ r2​=a±ib时:

函数 y 1 = e ( α + i β ) x y 2 = = e ( α − i β ) x y_1=e^{(α+iβ)x}\ y_2==e^{(α-iβ)x} y1​=e(α+iβ)x y2​==e(α−iβ)x 是方程的两个线性无关的复数解.

函数 y 1 = e α x c o s β x y 2 = e α x s i n β x y_1=e^{αx}cosβx\ y_2=e^{αx}sinβx y1​=eαxcosβx y2​=eαxsinβx是方程的两个线性无关的实数解.

由欧拉定理得：

y 1 = e ( α + i β ) x = e α x ( c o s β x + i s i n β x ) y_1=e^{(α+iβ)x}=e^{αx}(cosβx+isinβx) y1​=e(α+iβ)x=eαx(cosβx+isinβx)

y 2 = e ( α − i β ) x = e α x ( c o s β x − i s i n β x ) y_2=e^{(α-iβ)x}=e^{αx}(cosβx-isinβx) y2​=e(α−iβ)x=eαx(cosβx−isinβx)

y 1 + y 2 = 2 e α x c o s β x e α x c o s β x = 1 2 ( y 1 + y 2 ) y_1+y_2=2e^{αx}cosβx\ \ \ e^{αx}cosβx=\frac{1}{2}(y_1+y_2) y1​+y2​=2eαxcosβx   eαxcosβx=21​(y1​+y2​)

y 1 − y 2 = 2 i e α x s i n β x e α x s i n β x = 1 2 i ( y 1 − y 2 ) y_1-y_2=2ie^{αx}sinβx\ \ \ e^{αx}sinβx=\frac{1}{2i}(y_1-y_2) y1​−y2​=2ieαxsinβx   eαxsinβx=2i1​(y1​−y2​)

故 e α x c o s β x e α x s i n β x e^{αx}cosβx \ \ e^{αx}sinβx eαxcosβx  eαxsinβx也是方程的解

可以验证, y 1 = e α x c o s β x 、 y 2 = e α x s i n β x y_1=e^{αx}cosβx、y_2=e^{αx}sinβx y1​=eαxcosβx、y2​=eαxsinβx是方程的线性无关解

因此方程的通解为

y = e a x ( C 1 c o s β x + C 2 s i n β x ) . y=e^{ax}(C_1cosβx+C_2sinβx ). y=eax(C1​cosβx+C2​sinβx).

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