【Demllie航天】重力转弯与闭环控制

前言

一个绕轨飞行的航天器，降落期间是垂直于地表的，那么那这段区间内，航天器是怎么做到的呢？在旋转航天的角度为垂直期间，火箭喷口方向朝哪？朝向径向向外吗？

只需要喷一会儿

一开始降低轨道，需要火箭喷口朝速度方向，降低轨道为抛物线后，朝速度方向开火箭，由于重力转弯的作用，在航天器变为垂直，并不需要朝横向或者径向喷来浪费燃料。甚至只需要开一次节流阀就能垂直了！

下面解释重力转弯是什么。

降低轨道了，轨道变成抛物线，这时候火箭喷口朝速度方向，打开节流阀。

重力加速度设为g,航天器速度为v，火箭输出的推重比为u，速度方向和重力方向夹角为$\psi$，转弯期间推力方向和速度方向严格相反！
受力分析：
对于航天器质心
速度方向上
v ˙ = − g u + g c o s ψ ( 1 ) \dot{v}=-gu+gcos\psi \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(1) v˙=−gu+gcosψ(1)
因为分运动是个圆，所以有旋转加速度 a n = v ω = − g s i n ψ a_n=v\omega=-gsin\psi an​=vω=−gsinψ
v ψ ˙ = − g s i n ψ ( 2 ) v\dot{\psi}=-gsin\psi \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(2) vψ˙​=−gsinψ(2)

• 只要$u$大于零，随着时间的推移$\psi$接近于零，那么航天器的姿态自然变为垂直！ 这就是重力转弯的基本原理！

闭环控制

但是，仔细想想一般还与高度h和速度大小v有关，高度太低，速度太高……
所以，在下降时还需要调整推重比$u$，从而构成闭环重力转弯制导。

通常控制量$u$的计算还需要一条跟踪轨迹，可以是

1. 高度-速度曲线
2. 截距-速度曲线
3. 时间-高度曲线

等。

时间-高度曲线

设
v f v_f vf​为终端速度(不是最后垂直在着陆点上的速度)，是下一时刻的速度。
x 1 = v − v f x 2 = ψ x 3 = h x_1=v-v_f \\x_2=\psi\\x_3=h x1​=v−vf​x2​=ψx3​=h
则可以建立模型
[ x 1 ˙ x 2 ˙ x 3 ˙ ] = [ g c o s x 2 − g u − g s i n x 2 x 1 + v f − x 1 c o s x 2 ] \begin{bmatrix}\dot{x_1} \\ \dot{x_2} \\ \dot{x_3}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} gcosx_2 - gu \\ - \frac{gsinx_2}{x_1+v_f} \\ - x_1cosx_2\end{bmatrix} ⎣⎡​x1​˙​x2​˙​x3​˙​​⎦⎤​=⎣⎡​gcosx2​−gu−x1​+vf​gsinx2​​−x1​cosx2​​⎦⎤​
\;
第一个公式是速度方向上的合力的加速度
x 1 ˙ = d ( v − v f ) d t = g c o s ψ − g u \dot{x_1} = \frac{d(v-v_f)}{dt} = gcos\psi - gu x1​˙​=dtd(v−vf​)​=gcosψ−gu
第二个公式是分运动的旋转加速度公式推导的角速度
d ψ d t = − g s i n ψ v \frac{d\psi}{dt}=-\frac{gsin\psi}{v} dtdψ​=−vgsinψ​
第三个公式是垂直方向上的速度增益
d h d t = − ( v − v f ) c o s ψ \frac{dh}{dt}=-(v-v_f)cos\psi dtdh​=−(v−vf​)cosψ

\;
高度方程为
y = x 3 y=x_3 y=x3​
求二阶导数为
y ¨ = − g ( 1 − v f s i n 2 x 2 x 1 + v f ) + g u c o s x 2 \ddot{y} = - g\begin{pmatrix} 1 - \frac{v_fsin^2x_2}{x_1+v_f}\end{pmatrix} + gucosx_2 y¨​=−g(1−x1​+vf​vf​sin2x2​​​)+gucosx2​

如果，控制输入设置为下面的形式
u = 1 g c o s x 2 { g [ 1 − v f s i n 2 x 2 x 1 + v f + h d ¨ − c 2 ( y ˙ − h d ˙ ) − c 1 ( y − h d ) ] } u = \frac{1}{gcosx_2} \left\{ g\begin{bmatrix} 1- \frac{v_fsin^2x_2}{x_1+v_f} + \ddot{h_d} - c_2(\dot{y} - \dot{h_d}) - c_1(y- h_d )\end{bmatrix} \right\} u=gcosx2​1​{g[1−x1​+vf​vf​sin2x2​​+hd​¨​−c2​(y˙​−hd​˙​)−c1​(y−hd​)​]}
其中 c 1 , c 2 c_1,c_2 c1​,c2​是常数，那么输出方程可以化为
y ¨ = h d ¨ − c 2 ( y ˙ − h d ˙ ) − c 1 ( y − h d ) \ddot{y}=\ddot{h_d} - c_2(\dot{y} - \dot{h_d}) - c_1(y- h_d ) y¨​=hd​¨​−c2​(y˙​−hd​˙​)−c1​(y−hd​)
通过旋转 c 1 , c 2 c_1,c_2 c1​,c2​可以使得上式稳定！!!

上述控制是连续跟踪的，所以一般来说$u$也是连续的，这要求发动机能够变推力！

结论

重力转弯闭环制导律本身是没有考虑推进剂消耗的，但是可以通过设计跟踪的轨迹来近似保住最优性。以重力转弯过程推进剂消耗最少为优化目标，通过最优控制理论分析表明，最优的重力转弯制导律是一种开关bang-bang控制，只需要控制发动机开关，不需要条件推力大小，而且开关次数最多进行一次！！！

这就意味着，印度的月船二号是虽然是没有变推力，利用多个发动机的开关来着陆，这种方案其实是可行的。只要重力转弯制导达到最优，发动机开一次就能垂直过来，然后只需要用PID降落就行。

重力转弯方程中，没有落点位置，这决定了这种制导律只能应用在对落点位置没有要求的任务中，可以说是很局限了！

参考《航天器动力学与控制》

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