概率 + 统计随机变量及其分布（二）

2023-12-08 04:02:46

随机变量

设随机试验的样本空间为S={e}. X=X(e)是定义在样本空间S上的实值单值函数. 称X=X(e)为随机变量.

离散型随机变量的概率分布

随机变量X的所有可能取值是有限多个或可列无限多个, 这种随机变量称为离散型随机变量。

设X所有可能取的值为 $x_k(k=1,2,...)$ , 称

$P\{X=x_k\}=p_k, k=1,2,....$ (1)

为离散型随机变量X的分布律。由概率的定义, $p_k$ 满足如下两个条件

$p_k \geqslant 0, k=1,2,\cdots$
$\sum_{k=1}^{\infty }p_k=1, k=1,2,\cdots$

分布律也可用表格的形式来表示:

三个重要的离散型随机变量

(0-1)分布

设随机变量X只可能取0与1两个值, 它的分布律是

$P(X=k)=p^k(1-p)^{1-k}, k= 0,1, \ \ (0 < p < 1)$

则称X服从以p为参数的(0-1)分布或两点分布. (0-1)分布的分布律也可写成

二项分布

用X表示n重贝努利试验中事件A发生的次数，则

$P(X=k)=C_n^kp^k(1-p)^{n-k},\ \ k =0,1,2,\cdots,n$

称随机变量X 服从参数为n和p的二项分布，记作X~B(n,p)

当n=1时，二项分布就是(0-1)分布。

泊松分布

设随机变量X所有可能取的值为0 , 1 , 2 , … , 且概率分布为：

$P(X=k)=\frac{\lambda^{k}}{k!}e^{-\lambda}, \ \ k=0,1,2,\cdots$

其中 $\lambda > 0$ 是常数,则称 X 服从参数为 $\lambda$ 的泊松分布,记作 $X \sim \pi(\lambda)$

泊松（Poisson）定理：设 $\lambda > 0$ 是一常数,n是任意正整数,设 $np_n=\lambda$ 则对于任一固定的非负整数k,有

$\lim_{n\rightarrow \infty}C_n^kp_n^k(1-p_n)^{n-k}=\frac{\lambda^ke^{-\lambda}}{k!}$

定理表明： n比较大, p很小时, 以n , p为参数的二项分布的概率值可以由参数为l=np的泊松分布的概率值近似。

随机变量的分布函数

设X是一个随机变量，称 $F(x)=P(X \leqslant x)(-\infty < x < +\infty)$ 为X的分布函数，记作F(X)。

如果将 X 看作数轴上随机点的坐标，那么分布函数 F(x) 的值就表示 X落在区间 $(-\infty, x]$ 内的概率。

对任意实数 $x_1<x_2$ ，随机点落在区间 $(x_1, x_2]$ 内的概率为： $P(x_1 < X \leqslant x_2) = P(X \leqslant x_2) - P(X \leqslant x_1) = F(x_2) - F(x_1)$

连续型随机变量及其分布

对于随机变量 X , 如果存在非负可积函数 $f (x)$ , $x \in (-\infty,+\infty)$ ，使得对任意实数 $x$ ，有 $F(x)=\int_{-\infty}^{x}f(t)dt = P(X\leqslant x)$ 则称 X为连续型随机变量, 称 $f (x)$ 为 X 的概率密度函数，简称为概率密度。

对任意实数 $x_1<x_2$ ，有 $P(x_1 < X \leqslant x_2) = \int_{x_1}^{x_2}f(x)dx$

对连续型随机变量X , 有 $P(a\leqslant X \leqslant b) = P(a < X \leqslant b)=P(a\leqslant X< b)=P(a < X <b)$

三种重要的连续型随机变量

均匀分布

指数分布

性质(★)称为无记忆性. 指数分布在可靠性理论和排队论中有广泛的运用.

正态分布

标准正态分布

正态分布与标准正态分布的分布函数之间的关系

若 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$ ，则 $Z=\frac{X-\mu}{\sigma} \sim N(0,1)$

$X \sim N(\mu, \sigma^2) \\ \Rightarrow F_X(x)=P(X\leqslant x)=P(\frac{X-\mu}{\sigma} \leqslant \frac{x-\mu}{\sigma} ) =\varnothing (\frac{x-\mu}{\sigma})$

$P(a < X < b) = \varnothing(\frac{b - \mu}{\sigma}) - \varnothing(\frac{a- \mu}{\sigma})$

$\begin{aligned} &P(|X - \mu| \leqslant \sigma) = \varnothing(1)- \varnothing(-1)=0.6826\\ &P(|X - \mu| \leqslant 2\sigma) = \varnothing(2)- \varnothing(-2)=0.9544 \\ &P(|X - \mu| \leqslant 3\sigma) = \varnothing(3)- \varnothing(-3)=0.9974 \end{aligned}$

可以认为，X 的取值几乎全部集中在 $[\mu - 3\sigma, \mu +3\sigma]$ 区间内。这在统计学上称作" $3\sigma$ 准则"

标准正态分布的上 $\alpha$ 分位

设 $X \sim N(0,1)$ ，若 $z_\alpha$ 满足条件 $P(X >z_\alpha)=\alpha, 0 < \alpha < 1$ ，则称点 $z_\alpha$ 为标准正态分布的上 $\alpha$ 分位。

由 $\varnothing(x)$ 的对称性知 $z_{1-\alpha}=-z_{\alpha}$ 。

一维随机变量函数的分布

设随机变量 X 的分布已知，Y=g (X) (设g 是连续函数），我们利用 X 的分布来求 Y 的分布。

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