关于稠密的一些思考

离散度量空间中存在稠密集吗

我们常说实数集是稠密的，有理数集是稠密的，从直观上理解稠密集就是这个集合里的点是密集分布的，任何一个点的任意小的领域里都至少包含一个其他的点。

那在推广到一般度量空间中时，有以下定义，若$A$是度量空间$\chi$的子集，且 A ‾ = χ \overline{A}=\chi A=χ,则称A是稠密集。我们自然的想到，离散度量空间中也具有稠密集吗？这似乎是反直觉的，实际上是我们的直觉使我们陷入了思维误区，我们习惯于用欧式距离去思考，但离散度量空间中的度量与欧式距离大相径庭，因此我们需要严谨的去思考。

首先给出离散度量空间的定义:
若E是一个离散度量空间，则E中没有聚点，每一个点集都是孤立点。
举一个离散度量空间的例子:
D x y = { 1 x ≠ y 0 x = y \begin{equation} D_{xy}=\begin{cases} 1 &x\neq y\\ 0 & x=y \\ \end{cases} \tag{1} \end{equation} Dxy​={10​x=yx=y​​(1)​
显然,$E$本身就是一个稠密集。
但我们可以证明的是，离散度量空间的真子集都不是稠密集

稠密集与稠密子集的区别

在学习稠密集时我遇到了这样一个问题，一个集合是稠密集的充要条件是$A$是度量空间$\chi$的子集，且 A ‾ = χ \overline{A}=\chi A=χ，那么在实数域$R$中，开区间$(1,2)$的闭包 ( 1 , 2 ) ‾ \overline{(1,2)} (1,2)​等于$[1,2]$,并非整个度量空间$R$,那么$(1,2)$不是稠密集吗，这显然是有问题的。实际上出现这种错误的原因是对定义的混淆。

下面我们引出稠密集与稠密子集的定义
稠密集
定义1.若$A$是度量空间$\chi$的子集，且 A ‾ = χ \overline{A}=\chi A=χ,则称A是稠密集。
定义2.若$A$是度量空间$\chi$的子集，且对$\forall x\in \chi$, $x$的任意领域与$A$的交集都不为空，则称$A$在$\chi$中稠密，
即对$\forall \epsilon$, $\forall$ $x\in \chi$, 有 $\cup (x,\epsilon )\cap A\ne \varnothing$

稠密子集
若$A,B$是度量空间$\chi$的子集,且对$\forall x\in B$, $x$的任意领域与$A$的交集都不为空,则称$A$是$B$的稠密子集。

因此我们可以看见在说明一个集合是否为稠密集时，要先强调它所在的度量空间，我们前面的疑问也得到了解答，及一个集合是否稠密，实际上是看它是否为度量空间$\chi$的稠密子集。因此前面所说的$(1,2)$是度量空间$[1,2]$上的稠密集，我们简称其为稠密集。

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