计算几何小记

计算几何

• 前言
• 平面几何
• • 两点间的距离公式
  • 线段的中点坐标公式
  • 直线的斜率公式
  • 坐标系旋转
  • 皮克定理

前言

只会平面几何

平面几何

两点间的距离公式

两点的坐标分别为 P 1 ( x 1 , y 1 ) , P 2 ( x 2 , y 2 ) P_1(x_1,y_1),P_2(x_2,y_2) P1​(x1​,y1​),P2​(x2​,y2​)，则 P 1 P_1 P1​和 P 2 P_2 P2​两点间的距离为$ d = ( ∣ x 1 − x 2 ∣ ) 2 + ( ∣ y 1 − y 2 ∣ ) 2 d=\sqrt{(|x_1-x_2|)^2+(|y_1-y_2|)^2} d=(∣x1​−x2​∣)2+(∣y1​−y2​∣)2 ​

线段的中点坐标公式

两点的坐标分别为 P 1 ( x 1 , y 1 ) , P 2 ( x 2 , y 2 ) P_1(x_1,y_1),P_2(x_2,y_2) P1​(x1​,y1​),P2​(x2​,y2​)，则线段 P 1 P 2 P_1P_2 P1​P2​的中点坐标为$(x,y)$，那么
x = x 1 + x 2 2 , y = y 1 + y 2 2 x=\frac{x_1+x_2}{2},y=\frac{y_1+y_2}{2} x=2x1​+x2​​,y=2y1​+y2​​

直线的斜率公式

两点的坐标分别为 P 1 ( x 1 , y 1 ) ， P 2 ( x 2 , y 2 ) P_1(x_1,y_1)，P_2(x_2,y_2) P1​(x1​,y1​)，P2​(x2​,y2​),则线段 P 1 P 2 P_1P_2 P1​P2​所在的直线的斜率为 k = y 2 − y 1 x 2 − x 1 k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} k=x2​−x1​y2​−y1​​

坐标系旋转

设旋转角为$\theta$，对于原来的坐标$(x,y)$，现在的坐标 ( x ′ , y ′ ) (x',y') (x′,y′)满足
x ′ = x cos ⁡ θ + y sin ⁡ θ , y ′ = y cos ⁡ θ − x sin ⁡ θ x'=x\cos\theta+y\sin \theta,y'=y\cos\theta-x\sin\theta x′=xcosθ+ysinθ,y′=ycosθ−xsinθ

皮克定理

设多边形的面积为$s$，在多边形上的格点数为$a$，多边形内格点数为$b$，那么 s = a + b 2 − 1 s=a+\frac{b}{2}-1 s=a+2b​−1

未完待续（永远都未完）

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