State Estimation and Localization for Self-Driving Cars-W1_最小二乘法估计电阻

State Estimation and Localization for Self-Driving Cars-W1_最小二乘法估计电阻

• 最小二乘法
• 练习
• • 介绍
  • 开始
  • 估计斜率参数
  • 绘制结果

最小二乘法

来到Coursera自动驾驶系列课程第二部分《State Estimation and Localization for Self-Driving Cars》，介绍一个简单的利用最小二乘来估计电阻的例子，假设对电阻做了四次测量，分别得到四个电阻值，那么如何估计出真实的电阻值。

假设x是一个未知的常数，y表示电阻的测量值，建立测量模型为：
y=x+v
其中，v表示测量噪声。

将公式对应到四个测量值：

计算出每次测量误差的平方e1²、e2²。电阻的“最佳”估计是最小化平方误差总和的估计。

让我们使用向量重写上式：

现在，我们可以将标准表达如下，

为了最小化这个公式，我们可以计算关于x的偏导数，将结果设置为 0，并求解一个极值：

只有当 ( H T H ） − 1 ) \mathbf{(HTH）^-1^ )} (HTH）−1)存在时可以得到x值。

分享：科罗拉多大学 PhET 交互式模拟项目提供的交互式最小二乘拟合模拟器：https://phet.colorado.edu/sims/html/least-squares-regression/latest/least-squares-regression_en.html

以下是课程中配套的程序练习：

练习

介绍

使用欧姆定律确定电气组件的电阻。 电阻的计算公式：
$$V=RI$$
其中 $V$ 是以伏特为单位的电压，$R$ 是以欧姆为单位的电阻，而 $I$ 是以安培为单位的电流。 使用万用表测量不同电流值下电阻器上的压降并收集以下数据：

有了手头的数据，目标是：

1. 使用最小二乘法将一条穿过原点的线（即，确定 $y=Rx$ 的参数 $R$）与该数据拟合。 您可以假设所有测量都具有同等精度。
2. 考虑该组件的最佳电阻估计值（以欧姆为单位）。

开始

第一步是导入必要的 Python 模块并将电流值和电压测量值加载到 NumPy 数组中：

import numpy as np
from numpy.linalg import inv
import matplotlib.pyplot as plt# Store the voltage and current data as column vectors.
I = np.array([[0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6]]).T
V = np.array([[1.23, 1.38, 2.06, 2.47, 3.17]]).T

绘制测量值，看到电流和电压之间基本呈现线性关系。

plt.scatter(I, V)
plt.xlabel('Current (A)')
plt.ylabel('Voltage (V)')
plt.grid(True)
plt.show()

估计斜率参数

让我们使用上边推导出的最小二乘公式来估计斜率参数 $R$（即电阻）：

寻找斜率参数 $R$，如何定义矩阵 $\mathbf{H}$（雅可比矩阵）和向量 $\mathbf{y}$（包含堆叠电压测量值） ? 提示 1：在复习模块 1 的材料时，请仔细注意欧姆定律定义的关系（这个问题与模块中提供的示例略有不同）。 提示2：雅可比矩阵包含测量方程关于感兴趣参数的偏导数。

# Define the H matrix - what does it contain?
# H = ...
H=I.reshape(I.shape[0],1)
y=V.reshape(V.shape[0],1)
R=np.linalg.inv(H.T@H)@(H.T@y)
print('The slope parameter of the best-fit line (i.e., the resistance) is:')
print(R[0, 0])

The slope parameter of the best-fit line (i.e., the resistance) is:
5.13444444

绘制结果

现在让我们结果。 如何将线性参数拟合与以欧姆为单位的电阻值相关联？

I_line = np.arange(0, 0.8, 0.1).reshape(8, 1)
V_line = R*I_lineplt.scatter(I, V)
plt.plot(I_line, V_line)
plt.xlabel('Current (A)')
plt.ylabel('Voltage (V)')
plt.grid(True)
plt.show()

如果您正确地实施了这些步骤，斜率参数 R ^ \hat{R} R^ 应该非常接近（在十分之几欧姆内）$R=5\Omega$ 的实际电阻值。 然而，估计值不会与真实电阻值完全匹配，因为我们只有有限数量的噪声测量。

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