--线段树--

线段树 (Segment Tree) ，一个用来处理 RMQ、RSQ 的数据结构

1. 基本思想

它的思想也是非常简单，比如有一个长度为 8 的区间，我们把它分成两个长度为 4 的区间，然后对于长度为 4 的区间再分割，每个区间记录信息（比如和） ，我们把这些区间当成一棵树上的节点，对于编号为 $k$ 的区间 $[l,r]$ ，中间点为 m i d = ⌊ l + r 2 ⌋ mid=\lfloor \dfrac{l+r}{2} \rfloor mid=⌊2l+r​⌋ ，子节点有编号为 $2k$ 的区间 $[l,mid]$ 和编号为 $2k+1$ 的区间 $[mid+1,r]$ ，若 $s[k]$ 代表编号为 $k$ 的区间和，那么显然 $s[k]=s[2k]+s[2k+1]$ ，非常的简单

（为了图方便，我写了俩内联函数：

inline int ls(int x){return x<<1;}//左孩子
inline int rs(int x){return x<<1|1;}//右孩子

2. 单点修改区间查询

例题

求区间和，还是 $s[k]$ 代表编号为 $k$ 的区间和，那么首先第一步是初始化 $s[]$

void build(int k, int l, int r)
{//编号k区间对应[l,r] if(l==r){s[k]=a[l];return;}int mid=l+r>>1;build(ls(k), l, mid);build(rs(k), mid+1, r);s[k]=s[ls(k)]+s[rs(k)];
}//注意s的大小应至少是a的四倍

单点修改把包括某个点的区间都加上就行

void add(int k, int l, int r, int x, int v)
{//计算到编号k的区间[l,r]，要把x元素加上vif(r<x || l>x)return;if(l==r && l==x){s[k]+=v;return;}int mid=l+r>>1;add(2*k, l, mid, x, v);add(2*k+1, mid+1, r, x, v);s[k]=s[2*k]+s[2*k+1];
}

区间查询：

int query(int k, int l, int r, int x, int y)
{//k,l,r同上，求sum[x,y]if(r<x || l>y)return 0;if(x<=l && r<=y)return s[k];int mid=l+r>>1;return query(2*k, l, mid, x, y)+query(2*k+1, mid+1, r, x, y);
}

于是 AC 了

3. 区间修改单点查询

例题

区间修改很简单，我们把每一个区间都打一个 add 标记，表示这个区间每一个数都加上了 add ，这样单点查询只需要从根开始一层一层找包括它的区间，把 add 标记都加上就行了

4. 区间修改区间查询

例题

4.1 标记下传

如果区间修改区间查询也用直接打 add 标记的办法，效率会比朴素算法还要差，为什么呢？因为我们对于每个点都去找包含它的区间，每一个点都是独立的，那我们把每个标记都下传到子节点不就行了？但是我们发现每一次修改都下传时间复杂度会很大，其实我们不用每次修改都下传，在查询的时候，修改的时候，顺便把路过的节点都下传了就行，因为这样的标记只有路过的时候才会下传，于是我们管他叫 lazy-tag （懒标记），代码：

#include
#include
#include
#include
#define rp(i, e) for(int i=1;i<=(e);i++)
#define pr(i, e) for(int i=(e);i>=1;i--)
#define rp0(i, e) for(int i=0;i<(e);i++)
#define pr0(i, e) for(int i=(e)-1;i>=0;i--)
#define rps(i, b, e) for(int i=(b);i<=(e);i++)
#define prs(i, e, b) for(int i=(e);i>=(b);i--)
#define rpg(i, x) for(int i=head[x];i;i=e[i].nxt)
using namespace std;
const int NR=1e5+10;
typedef long long LL;
int n, T, o, x, y;
LL a[NR], k;
inline int ls(int x){return x<<1;}
inline int rs(int x){return x<<1|1;}
struct segTree
{LL s[NR*4], ad[NR*4];void build(int k, int l, int r){if(l==r){s[k]=a[l];return;}int mid=l+r>>1;build(ls(k), l, mid);build(rs(k), mid+1, r);s[k]=s[ls(k)]+s[rs(k)];}void addrange(int k, int l, int r, LL v){ad[k]+=v;s[k]+=(r-l+1)*v;}void pushdown(int k, int l, int r){if(!ad[k])return;int mid=l+r>>1;addrange(ls(k), l, mid, ad[k]);addrange(rs(k), mid+1, r, ad[k]);ad[k]=0;}void add(int k, int l, int r, int x, int y, LL v)

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