CINTA同态

CINTA 作业七 同态

一、如果H₁和H₂是群G的正规子群，证明H₁H₂也是群G的正规子群。

证明：

因为H₁和H₂都是群的正规子群，则任意g∈G，有：
gH₁=H₁g   gH₂=H₂g
因而对于H₁H₂，则有：
gH₁H₂ = H₁gH₂ = H₁H₂g
因而H₁H₂也是群G的正规子群。

二、定义映射Φ：G→G为：g→g²。请证明Φ是一种群同态当且仅当G是阿贝尔群。

证明：

①证明充分性：
若Φ是一种群同态，则对于任意a、b∈G有：
Φ(ab)=Φ(a)Φ(b)
(ab)²= abab = a²b² = aabb
所以若Φ是一种群同态，G是阿贝尔群，充分性得证。

②证明必要性：
若G是阿贝尔群,对于任意a、b属于G有：
Φ(ab) = (ab)²= abab =aabb =a²b² =Φ(a)Φ(b)
所以此时Φ也是一种群同态， 必要性得证。

三、证明：如果群H是群G上指标为2的子群，则H是G的正规子群。

证明：

所谓指标为2即 [G:H] = 2
意味着以H及其陪集将G分割为两个划分 H 和 gH (g∈(G-H))
所以对任意a∈H，必有
aH = H ； Ha = H ;  所以aH = Ha
对任意b∈G-H，必有
bH = gH ;  Hb = gH ； 所以bH = Hb
所以对任意x∈G，有
xH = Hx
所以H是G的正规子群。

四、证明：如果群G是循环群，则商群G/H也是循环群。

证明：

群G是循环群，其子群H亦为循环群。
设 |G|=m ，|H| = n ，[G:H] = m/n
若G表示为 ={g ¹，g ²，…，g ^m} (g∈G)
H 表示为 x>={g ^x，g ^x+1，…，g ^x+n-1} （x∈[1,m]）
G/H = { g ¹H，g ²H，…，g ^mH }
已知G/H的群操作为 ： (aH)(bH) = (abH)
固 G/H = { g ¹H，g ²H，…，g ^mH }
    ={g ¹H，(g ¹) ²H，…，(g ¹) ^mH}
因而 G/H可以表示为1H>, 为循环群。

本文来自互联网用户投稿，文章观点仅代表作者本人，不代表本站立场，不承担相关法律责任。如若转载，请注明出处。 如若内容造成侵权/违法违规/事实不符，请点击【内容举报】进行投诉反馈！