矩阵的几何意义
矩阵的几何意义：变换
是指把一些数据如点，方向矢量颜色等通过某些方式转换的过程，下面来给大家介绍一下各种变换矩阵，和概念。
线性变换
f(x)+f(y)=f(x+y)
kf(x)=f(kx)
上面的例子有点抽象，如缩放就是一种线性变换，如f(x)=2x可以表示一个大小为2的统一缩放，即经过矢量x的模是原来的两倍。同样旋转也是一种线性变换。还包括错切、镜像、正交投影等…
仅有线性变换不够的。我们来考虑平移变换例如f(x)=x+(1,2,3)。这不是一个线性变换，它即不满足标量乘法，也不满足矢量加法。如果我们令x=(1,1,1)那么：
f(x)+f(x)=(4,6,8)
f(x+x)=(3,4,5)
可见结果是不一样的，所以就了限仿射变换。仿射变换就是合并线性变换和平移变换的变换类型。仿射变换可以使用一个4X4的矩阵来表示，为此我们需要到四维空间下，这就是齐次坐标空间。
| 变换名称 | 是线性变换吗 | 是仿射变换吗 | 是可逆矩阵吗 | 是正交矩阵吗 |
|---|---|---|---|---|
| 平移矩阵 | N | Y | Y | N |
| 绕坐标轴旋转矩阵 | Y | Y | Y | Y |
| 绕任意轴旋转的矩阵 | Y | Y | Y | Y |
| 绕坐标轴缩放的矩阵 | Y | Y | Y | N |
| 错切矩阵 | Y | Y | Y | N |
| 镜像矩阵 | Y | Y | Y | Y |
| 正交投影矩阵 | Y | Y | N | N |
| 透视投影矩阵 | N | N | N | N |
齐次坐标
我们把3X3的矩阵扩展到了4X4的矩阵(多一维为了可以列表平移)，这就是我们说的齐次坐标。
分解基础矩阵
已知道一个4X4的矩阵来表示平移、旋转、缩放。我们表示把纯平移、旋转、缩放的矩阵叫作基础变换矩阵，我们可以把一个基础变换矩阵分解为下面四个部分：
其实左上角M3X3用于表示旋转和缩放，t3X1表示平移，01X3是零矩阵即[0,0,0]。
平移矩阵：
需要注意的是：
当第四个分量为1时能得到正确的结果：
当第四个分量为0时，还是原来的结果：
平移矩阵的逆矩阵：
缩放矩阵
沿空间的X轴，Y轴，Z轴进行缩放。同样我们可以适用矩阵乘法来表示一个缩放变换：
旋转矩阵
复合矩阵
变换的结果是依赖于变换顺序的，由于矩阵乘法不满足交换律，因此矩阵的顺序很重要。
比方在大多数情况下，我们就是先缩放，再旋转，最后平移（注意矩阵是从右住左乘的）：
要注意的是，这两都是不相等的：
同时也要考虑是否连坐标系一同旋转。
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