线性代数Python计算：矩阵的转置、方阵的行列式和方阵的逆

1.矩阵的转置

numpy用来表示矩阵的2维数组的array对象的T属性，返回矩阵的转置。
例1 设 A = ( 2 0 1 1 3 2 ) \boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}2&0&1\\1&3&2\end{pmatrix} A=(21​03​12​)， B = ( 1 7 − 1 4 2 3 2 0 1 ) \boldsymbol{B}=\begin{pmatrix}1&7&-1\\4&2&3\\2&0&1\end{pmatrix} B= ​142​720​−131​ ​，在Python中验证 ( A B ) T = B T A T (\boldsymbol{AB})^{\text{T}}=\boldsymbol{B}^\text{T}\boldsymbol{A}^\text{T} (AB)T=BTAT。

import numpy as np          #导入numpy
A=np.array([[2,0,-1],       #矩阵A[1,3,2]])
B=np.array([[1,7,-1],       #矩阵B[4,2,3],[2,0,1]])
print((np.matmul(A,B)).T)   #积的转置
print((np.matmul(B.T, A.T)))#转置的积

程序中第2~3行和第4~6行分别设置矩阵$\mathbf{A}$和$\mathbf{B}$。第7行调用numpy的函数matmal(A,B)计算积$\mathbf{AB}$，然后访问其转置属性matmal(A,B).T输出 ( A B ) T (\boldsymbol{AB})^\text{T} (AB)T。第8行调用函数matmul(B.T,A.T)计算 B T A T \boldsymbol{B}^\text{T}\boldsymbol{A}^\text{T} BTAT。运行程序，输出

[[ 0 17][14 13][-3 10]]
[[ 0 17][14 13][-3 10]]

2. 方阵的行列式

numpy包中用于处理线性代数的linalg模块提供的det函数可用来计算方阵的行列式。
例2：在Python中验算矩阵 A = ( 3 1 − 1 2 − 5 1 3 − 4 2 0 1 − 1 1 − 5 3 − 3 ) \boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}3&1&-1&2\\-5&1&3&-4\\2&0&1&-1\\1&-5&3&-3\end{pmatrix} A= ​3−521​110−5​−1313​2−4−1−3​ ​的行列式$\det \mathbf{A}$。

import numpy as np          #导入numpy
A=np.array([[3,1,-1,2],     #矩阵A[-5,1,3,-4],[2,0,1,-1],[1,-5,3,-3]])
print(np.linalg.det(A))     #A的行列式

运行程序，输出

40.0

即 det ⁡ ( 3 1 − 1 2 − 5 1 3 − 4 2 0 1 − 1 1 − 5 3 − 3 ) = 40 \det\begin{pmatrix}3&1&-1&2\\-5&1&3&-4\\2&0&1&-1\\1&-5&3&-3\end{pmatrix}=40 det ​3−521​110−5​−1313​2−4−1−3​ ​=40。

3. 方阵的逆阵

numpy.linalg的inv函数计算可逆方阵的逆矩阵。
例3 设矩阵 A = ( 1 2 3 2 2 1 3 4 3 ) \boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}1&2&3\\2&2&1\\3&4&3\end{pmatrix} A= ​123​224​313​ ​，计算逆矩阵 A − 1 \boldsymbol{A}^{-1} A−1。

import numpy as np                          #导入numpy
from utility import adjointMatrix           #导入adjointMatrix
from fractions import Fraction as F
np.set_printoptions(formatter={'all':lambda x:str(F(x).limit_denominator())})
A=np.array([[1,2,3],                        #设置矩阵A[2,2,1],[3,4,3]])
print('%.1f'%np.linalg.det(A))              #输出A的行列式
print(np.linalg.inv(A))                     #输出A的逆阵

注意程序中的第8行，调用numpy.linalg的inv函数，计算A的逆矩阵。运行程序输出

2.0
[[  1   3 -2][-3/2 -3 5/2][  1   1 -1]]

由于$\det \mathbf{A}=2$，故$\mathbf{A}$可逆， A = ( 1 3 − 2 − 3 2 − 3 5 2 1 1 − 1 ) \boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}1&3&-2\\-\frac{3}{2}&-3&\frac{5}{2}\\1&1&-1\end{pmatrix} A= ​1−23​1​3−31​−225​−1​ ​。
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