求整数的位数及各位数字之和_如何判断正整数能否被7、4、8整除？（20年1月24日）...

除夕日，大吉！今天讲讲关于7、4、8这三个数字的整除问题，判定法则并不重要，重要的是如何得到这种判定法则。我们都知道，判断正整数能否被3整除很简单，只需要看各位数字和是否是3的倍数。那么，如何判断正整数能否被7、4、8整除呢？其实这几个问题是一脉相承的，可以用同样的方法解决。开门见山先说三个结论：判断能否被4整除的法则是：用十位数的2倍加上个位数，看是否能被4整除。判断能否被8整除的法则是：百位数乘以4加上十位数乘以2，再加上个位数，看是否能被8整除。判断能否被7整除的法则是：把这个数从后到前分为每6位一段，对每一段ABCDEF求5A+4B+6C+2D+3E+F，再把所有段的值相加，看结果能否被7整除。我们从熟知的被3整除开始思考，被3整除的判定法则是怎么来的？假设某四位数为ABCD，则ABCD=1000*A+100*B+10*C+D=999*A+99*B+9*C+(A+B+C+D)=3*(333A+33B+3C) +(A+B+C+D),显然只要A+B+C+D是3的整数倍，四位数ABCD也是3的整数倍，反之亦然。对于任意位数都可以这么处理。仔细观察上面的证明过程，关键在于999,99,9都是3的整数倍，对于7，4，8的情况可以类似证明。先证明第一个结论，判断正整数能否被4整除。假设某正整数最后两位数是AB，则存在自然数n，使该正整数等于100n+AB=100n+10A+B=100n+8A+2A+B=4*(25n+2A)+(2A+B)。显然只要2A+B是4的整数倍，这个正整数也是4的整数倍，反之亦然。因此判断能否被4整除的法则是：用十位数的2倍加上个位数，看是否能被4整除。再证明第二个结论，判断正整数能否被8整除。假设某正整数最后三位数是ABC，则存在自然数n，使该正整数等于1000n+ABC=1000n+100A+10B+C=1000n+96A+8B+4A+2B+C=8*(125n+12A+B)+(4A+2B+C)。显然只要4A+2B+C是8的整数倍，这个正整数也是8的整数倍，反之亦然。因此判断能否被8整除的法则是：百位数乘以4加上十位数乘以2，再加上个位数，看是否能被8整除。再证明第三个结论，判断正整数能否被7整除。这个问题比前两个要复杂一点，假设某六位数是ABCDEF==100000A+10000B+1000C+100D+10E+F=7*(14285A+1428B+142C+14D+E)+(5A+4B+6C+2D+3E+F)只要5A+4B+6C+2D+3E+F是7的整数倍，这个正整数也是7的整数倍，反之亦然。注意到1000000除以7的余数是1，则从1000000m+n除以7的余数，与m+n除以7的余数相同，故把任意正整数从后到前每6位分一截，就可应用上述方法判断是否被7整除。因此判断能否被7整除的法则是：把这个数从后到前分为每6位一段，对每一段求5A+4B+6C+2D+3E+F，再把所有段的值相加，看结果能否被7整除。最后，给朋友们拜年了，祝您春节快乐，身体健康，阖家欢乐。

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