平面点集和多元函数知识点总结

内点：存在某领域U(A)，U(A)属于E

外点：存在某领域U(A),U(A)与E相交为空集

界点：任意领域U(A),U(A)和E以及E的补集相交不为空集

三种关系类比为区间内，区间外和区间的上下确界
内点一定属于E,外点一定不属于E，界点可能属于E

聚点定义：
（1）任何空心领域中有E中的点
（2）任何领域包含E的无数个点
内点一定是聚点，外点一定不是界点，界点可能是聚点

开集：
每一点都是内点

闭集：
E的聚点都属于E（也即界点都属于E，因为内点一定属于E，但是这个定义好证，只要说明随便一个点是聚点，且满足E的条件就可以了）

开域：非空且连通的开集，闭域：开域以及所有界点，

点列的收敛：
（1）任意e>0,存在N,任意n>N时， p n ∈ U ( p 0 ) p_n\in U(p_0) pn​∈U(p0​)
也就是点列在无穷多项后都落在某个点领域中
（2）柯西准则，点列收敛的充要条件是很多项以后两点距离无限小

闭域套定理

聚点定理

有界无限点列必有收敛子列

有限覆盖定理。

我觉得以上不怎么考，就随便略过。

二元函数：z与f(x,y)对应，注意(u,v)和f(x,y)对应叫做向量函数
注意数量函数(二元函数)和向量函数的区别，向量函数相当于多个二元函数。

1.如果问是不是闭集或者开集：
如果是区域，首先看边界有没有被取到，
如果是一条线，看看有没有点没被取到，有点没被取到大概率是开集
如果是离散的点集，那也是闭集
2.以 p 0 p_0 p0​为极限构造趋于它的点列，第一个点,p1任取,第二个点开始，在U( p 0 p_0 p0​,e)中找一个点，其中 e=min{ p 1 − p 0 , . . . . , p i − p i − 1 , 1 n p1-p0,....,p_i-p_{i-1},\frac{1}{n} p1−p0,....,pi​−pi−1​,n1​}。就是距离越来越近，但是又有一个1/n来控制不能间距太大
3.点列的收敛，是两点的距离小于e
4.补集是开集，原集是闭集：反证法，原集若非闭，则存在一个原集的聚点A不属于原集，属于补集，补集是开集，所以A领域在补集中，聚点的领域里没有原集的点，矛盾
总之要反复优先利用开闭集的性质，比如A属于补集，然后利用补集是开集，而不是先利用聚点的性质
5.有关差集A-B就转化成B补集和A的交

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