极限中0除以常数_渣渣胡的数分笔记--序列极限的定义

定义1：设

例1：证明

证明：当 时，该序列为常数序列，结论自然成立；
当 时，对 （不妨设 ）,要使： ,
只需要有： ,
注意到这里 ,于是上式等价于： .
于是，对 ，只要取 ,则当 时，就有 ，
即 成立.

例2：设

证明：先证明 是有限实数的情形.
因为 ，则对 ,使得当 时，有： .
对于取定的正整数 ,由于
是一个不随 的变化而变化的常数，因此有： .
于是，存在 ,当 时，有： .
现在取 ,则当 时，有：
从而有 .
下面证明 为 的情形.
因为 ，则对 ，当 时，有 ，
且有 ,从而有： ,
故可取 ,则当 时，有： ,
从而有： .
这就证明了 .
同理证明 为 的情形.

例3：设

证明：因为 ，故有 ，故数列 有界，即 ，使得 .
因为 ，所以对 ,当 时，有 .
因为 ，则对 ，当 时，有 .
可知当 时，有 ,则有以下推导：
即有： .

例4：若

证明：令 ,则有 ,于是有：
由例2可知，第二项和第三项的极限均为0，下面证明第四项的极限为0.
因为 ，则可知 有界，即存在 ，使得 .故有：
从而题设极限成立.

例5：

型Stolz公式

设

证明：令 ，则由已知条件可知： ，即有：
对 ，当 时，有 .
由 有：
两边同时除以 ，再同时减去 ，得：
因为 ，所以 ，使得 时有: .
于是有 ,即有 .

例6：设

思考：若极限存在，设其为 ，则有： ，解得 . 证明：由题意易知： ，则有：
则由递推式有： .
故 存在，且 .

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