【R语言】可转债隐含波动率的逆推计算教程

近些年可转债的量化项目越来越火了，从某种思路上来说，可将转债视为场内奇异期权来看待，即一份债券加上若干份看涨香草期权，所以无论是定价还是套利策略都逃不开隐含波动率和贴现率。从定价逻辑来看，由于转债价格=贴现后的债券价格+n份的香草期权价格，所以其中的债券价格应该是低于转债价格的，这样推出来的期权价格才是正值。但国内的二级市场有时并不理智，会发生恐慌性抛售行为，使得转债价格甚至低于了本身作为债券的价格，所以在使用Wind等金融终端的数据时会出现IV：即隐含波动率缺失的情况，这就意味着第三方数据商贴现债底时使用的贴现率有不合理的地方，对此感兴趣的朋友可以自己去思考一些新的算法，本文对此不做延伸。
先简短说一下IV的算法逻辑，期权的Black-Scholes-Merton定价模型含有5个参数，分别为执行价k、标的现货价s、期限t、无风险收益率r以及标的波动率v，然后计算唯一的未知量：期权价格p。现在已知p和前4个参数，唯一的未知量变为v，所以反算出来的v’即为隐含波动率，也叫做实际波动率（通常BSM算出来的期权价格和实际相差较大，且由于只有波动率是无法直接观测的，所以需要IV来描绘反应市场情绪的真实波动）。但由于波动率的逆算牵扯到概率密度的计算，无法直接运算，所以需要计算机的帮助。
直观点，现在我们考虑一个简单的计算，求出根号5的解（精确到小数点后3位），思考过程：

1. 先确定个位数：依次代入1、2、3，发现在解在2~3之间；
2. 再确定十分位：依次代入1、2、3，发现也在2~3之间。即解在2.2 ~2.3之间；
3. 同理不断地迭代下去，直到需要的精度…

这种不断试凑出来的方法便可以推广至IV的逆算。它的好处是你不需要知道反算的解析式，而且可以通过牺牲算力来获取理论上无限精确的解。
现在开始具体操作，还是以看涨期权为例：

我们先创建一个BSM的函数（R语言也有自带的包，但自建这个函数很简单，可供展示）：

option<-function(n,s,k,r,sig){   ###BSM表达式###d<-(log(s/k)+(r+sig^2/2)*n)/(sig*sqrt(n))d2<-d-sig*sqrt(n)c<-s*pnorm(d)-k*exp(-r*n)*pnorm(d2)return(c)
}  ###n为期限，s为标的现货价，k为执行价，r为利率，sig为波动率###

这里提一嘴，R语言中用的标准正态分布累计密度函数的代码是 pnorm(x)，官方给的相关函数还有这些，可自行在help中查看详情，使用时注意根据情况区分：

有了BSM的函数，我们就可以开始凑结果了，首先我们并不知道反算的解有几个，但是可以肯定的我们需要的那个解处于0~1之间，所以在代码中一定会有限制其范围的内容。普遍的，我们可以从0开始算起，也就是初始估计值cest为0：

cest<-0 ##初始值##
up<-1 ##上界##
low<-0 ##下界##
sigma<-0.5 ##初始假设的波动率#

已知实际的期权价格为c，反算的期权价格为cest，那么当两者之差的绝对值大于了某个我们设定的值，比如0.0001的精度（一般精确到小数点后四位就足够用了），我们就认为这个反算价格是不够精确的，此时需要用上文中的BSM函数算出该波动率下的期权价格理论值：

while (abs(c-cest)>0.00001) { ##用while而不是if语句是为了循环之后的算法##cest<-option(n,s,k,rf,sigma)

然后通过一种算法进行精确，可以用实际值c-新的估计值cest的差（注意不再是绝对值）再次与精度0.00001进行比较，如果差大于0.00001，那就说明估计量太小了，需要把下界提升至范围的中位数（0~1的中位数），也就是0.5，那么此时的IV就是之前(sigma+up)/2，比如(0.5+1)/2=0.75，就从刚开始的0 ~1区间缩小到了0.5 ~0.75，此时再把0.75这个估计值代入BSM函数算出新的期权价格，再次比较，循环往复。

if (c-cest>0.00001) {low<-sigmasigma<-(sigma+up)/2

考虑另一种相反情形，如果差小于0.0001，那就说明估计量太大了，此时先把上界移下来至中位数0.5，那么此时的IV就是之前(sigma+low)/2，比如(0.5+0)/2=0.25，就从刚开始的0 ~1区间缩小到了0.25 ~0.5，此时再把0.25这个估计值代入BSM函数算出新的期权价格，再次比较，循环往复。

else {up<-sigmasigma<-(sigma+low)/2}

那么通过while语句整个逻辑就走通了，从结构上来说可以把这个函数看做一个while语句包住一个if判断语句，之前的BSM函数是为了验证估计的波动率是否够精确，这篇教程仅使用了看涨期权的IV推算，大家可以再增加一个参数并再嵌套利一个if语句实现同时包含看跌和看涨的IV计算，这个内容就当做学习后的练手了，相信做完看涨+看跌的组合函数，对这类没有解析式的倒退运算就都能有思路了，以下是完整代码，仅供参考，谢谢！

option<-function(n,s,k,r,sig){   d<-(log(s/k)+(r+sig^2/2)*n)/(sig*sqrt(n))d2<-d-sig*sqrt(n)c<-s*pnorm(d)-k*exp(-r*n)*pnorm(d2)return(c)
}implied<-function(n,s,k,r,c){ ##c为实际看涨期权价格##
sigma<-0.5
cest<-0
up<-1
low<-0
while (abs(c-cest)>0.00001) {cest<-option(n,s,k,rf,sigma)if (c-cest>0.00001) {low<-sigmasigma<-(sigma+up)/2} else {up<-sigmasigma<-(sigma+low)/2}
}return(sigma)
}implied(0.25,28,30,0.02,1.5) ##试验结果##

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