概率统计Python计算：双正态总体方差比双侧假设的F检验

对两个独立的正态总体$X$~ N ( μ 1 , σ 1 2 ) N(\mu_1,\sigma_1^2) N(μ1​,σ12​)和$Y$~ N ( μ 2 , σ 2 2 ) N(\mu_2, \sigma_2^2) N(μ2​,σ22​)，检验双侧假设
H 0 : σ 1 2 / σ 2 2 = 1 , H 1 : σ 1 2 / σ 2 2 ≠ 1 H_0:\sigma_1^2/\sigma_2^2=1,H_1:\sigma_1^2/\sigma_2^2\not=1 H0​:σ12​/σ22​=1,H1​:σ12​/σ22​=1
检验统计量 S 1 2 S 2 2 \frac{S_1^2}{S_2^2} S22​S12​​~ F ( n 1 − 1 , n 2 − 1 ) F(n_1-1,n_2-1) F(n1​−1,n2​−1)。其中， S 1 2 S_1^2 S12​和 S 2 2 S_2^2 S22​分别为样来自$X$和$Y$的样本方差， n 1 n_1 n1​， n 2 n_2 n2​为样本容量。下列代码定义了计算双侧假设 H 0 H_0 H0​的p值检验函数。

from scipy.stats import f		#导入f
def ftest2(F, dfn, dfd, alpha):	#双侧检验函数if F>dfd/(dfd-2):			#检验统计量值大于F分布均值p=2*f.sf(F, dfn, dfd)else:						#检验统计量值不超过F分布均值p=2*f.cdf(F, dfn, dfd)return p>=alpha

双侧检验函数ftest2的参数F，dfn，dfd和alpha的意义分别为检验统计量值 1 2 s 2 2 \frac{_1^2}{s_2^2} s22​12​​， F ( n 1 − 1 , n 2 − 1 ) F(n_1-1,n_2-1) F(n1​−1,n2​−1)分布自由度 n 1 − 1 n_1-1 n1​−1和 n 2 − 1 n_2-1 n2​−1以及显著水平$\alpha$。第3~6行的if-else语句根据检验统计量值F位于 F ( n 1 − 1 , n 2 − 1 ) F(n_1-1,n_2-1) F(n1​−1,n2​−1)的均值 n 2 − 1 n 2 − 3 \frac{n_2-1}{n_2-3} n2​−3n2​−1​左、右方来计算p值：若F>dfd/(dfd-2)（即 n 2 − 1 n 2 − 3 \frac{n_2-1}{n_2-3} n2​−3n2​−1​）p置为2*f.sf(F, dfn, dfd)（第4行），否则p置为2*f.cdf(F, dfn, dfd)（第6行）。
例1比较甲、乙两种安眠药的疗效，将20名患者分成两组，每组10人，服药后延长的随面试间服从正态分布，其数据为
$$\begin{gathered} \text{甲：}5.5,4.6,4.4,3.4,1.9,1.6,1.1,0.8,0.1,-0.1 \\ \text{乙：}3.7,3.4,2.0,2.0,0.8,0.7,0,-0.1,-0.2,-1.6 \end{gathered}$$
问在显著水平$\alpha =0.05$下两种药的疗效有无显著差别。
解： 设服用两种药后延长的睡眠时间为$X$和$Y$。按题意，$X$~ N ( μ 1 , σ 1 2 ) N(\mu_1, \sigma_1^2) N(μ1​,σ12​)，$Y$~ N ( μ 1 , σ 2 2 ) N(\mu_1,\sigma_2^2) N(μ1​,σ22​)。其中， μ 1 , μ 2 , σ 1 2 , σ 2 2 \mu_1, \mu_2, \sigma_1^2, \sigma_2^2 μ1​,μ2​,σ12​,σ22​均未知。为检验推断“两种药无显著差别”需要分别检验 μ 1 \mu_1 μ1​， μ 2 \mu_2 μ2​有无差别， σ 1 2 \sigma_1^2 σ12​， σ 2 2 \sigma_2^2 σ22​有无差别。由于检测总体方差比的假设不依赖于总体均值的信息，故先用F方法检测假设
H 0 : σ 1 2 / σ 2 2 = 1 , H 1 : σ 1 2 / σ 2 2 ≠ 1 H_0:\sigma_1^2/\sigma_2^2=1, H_1:\sigma_1^2/\sigma_2^2\not=1 H0​:σ12​/σ22​=1,H1​:σ12​/σ22​=1
然后检再用T方法验假设
H 0 : μ 1 − μ 2 = 0 , H 1 : μ 1 ≠ μ 2 . H_0: \mu_1-\mu_2=0, H_1:\mu_1\not=\mu_2. H0​:μ1​−μ2​=0,H1​:μ1​=μ2​.
下列代码完成本例计算。

import numpy as np                              #导入numpy
x=np.array([5.5, 4.6, 4.4, 3.4, 1.9,            #样本数据1.6, 1.1, 0.8, 0.1, -0.1])
y=np.array([3.7, 3.4, 2.0, 2.0, 0.8,            #样本数据0.7, 0, -0.1, -.2, -1.6])
xmean=x.mean()                                  #样本均值
ymean=y.mean()                                  #样本均值
s12=x.var(ddof=1)                               #样本方差
s22=y.var(ddof=1)                               #样本方差
delta=0                                         #总体均值差假设值
n1=x.size                                       #样本容量
n2=y.size                                       #样本容量
alpha=0.05                                      #显著水平
F=s12/s22                                       #检验统计量值
accept=ftest2(F, n1-1, n2-1, alpha)             #双侧假设检验
print('sigma1^2=sigma2^2 is %s.'%accept)
sw=np.sqrt(((n1-1)*s12+(n2-1)*s22)/(n1+n2-2))   #计算sw
T=(xmean-ymean)/(sw*np.sqrt(1/n1+1/n2))         #检验统计量值
accept=ttest2(T, n1+n2-2, alpha)                #双侧假设检验
print('mu1=mu2 is %s.'%accept)

第2~13行按题面设置各项数据。第14行计算检验统计量知 s 1 2 / s 2 2 s_1^2/s_2^2 s12​/s22​为F，第15行调用ftest2计算方差比双侧假设 H 0 : σ 1 2 / σ 2 2 = 1 H_0:\sigma_1^2/\sigma_2^2=1 H0​:σ12​/σ22​=1的检验。第17~19行调用ttest2函数计算总体均值差假设 H 0 : μ 1 − μ 2 = 0 H_0:\mu_1-\mu_2=0 H0​:μ1​−μ2​=0的双侧检验。运行程序，输出

sigma1^2=sigma2^2 is True.
mu1=mu2 is True.

表示既接受假设 H 0 : σ 1 2 / σ 2 2 = 1 H_0:\sigma_1^2/\sigma_2^2=1 H0​:σ12​/σ22​=1，也接受假设 H 0 : μ 1 − μ 2 = 0 H_0:\mu_1-\mu_2=0 H0​:μ1​−μ2​=0，即在显著水平$\alpha =0.05$下认为两种药的疗效没有显著差别。
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