非线性系统【七】|输入-输出稳定性

非线性系统【七】|输入-输出稳定性

$\mathcal{L}$稳定性

定义5.1

如果存在定义在$[0,\infty )$上的$\mathcal{K}$类函数$\alpha$和非负常数$\beta$，对于所有的 u ∈ L e m u\in \mathcal{L}^m_e u∈Lem​和$\tau \in [0,\infty )$满足
∣ ∣ ( H u ) τ ∣ ∣ L ≤ α ( ∣ ∣ u ∣ ∣ L ) + β ||(Hu)_{\tau}||_{\mathcal{L}} \leq \alpha(||u||_{\mathcal{L}}) + \beta ∣∣(Hu)τ​∣∣L​≤α(∣∣u∣∣L​)+β
则映射 L e m → L e q \mathcal{L}^m_e \rightarrow \mathcal{L}^q_e Lem​→Leq​是稳定的。如果存在非负常数$\gamma$和$\beta$，对于所有的 u ∈ L e m u \in \mathcal{L}^m_e u∈Lem​和$\tau \in [0,\infty )$满足
∣ ∣ ( H u ) τ ∣ ∣ L ≤ γ ( ∣ ∣ u ∣ ∣ L ) + β ||(Hu)_{\tau}||_{\mathcal{L}} \leq \gamma(||u||_{\mathcal{L}}) + \beta ∣∣(Hu)τ​∣∣L​≤γ(∣∣u∣∣L​)+β
则称该映射是优先增益$\mathcal{L}$稳定的

定义5.2

如果存在正常数$r$，使得对所有 u ∈ L e m ， s u p 0 ≤ t ≤ τ ∣ ∣ u ( t ) ∣ ∣ ≤ r u \in \mathcal{L}^m_e， sup_{0 \leq t \leq \tau}||u(t)||\leq r u∈Lem​，sup0≤t≤τ​∣∣u(t)∣∣≤r，不等式 ∣ ∣ ( H u ) τ ∣ ∣ L ≤ α ( ∣ ∣ u ∣ ∣ L ) + β ||(Hu)_{\tau}||_{\mathcal{L}} \leq \alpha(||u||_{\mathcal{L}}) + \beta ∣∣(Hu)τ​∣∣L​≤α(∣∣u∣∣L​)+β或不等式 ∣ ∣ ( H u ) τ ∣ ∣ L ≤ γ ( ∣ ∣ u ∣ ∣ L ) + β ||(Hu)_{\tau}||_{\mathcal{L}} \leq \gamma(||u||_{\mathcal{L}}) + \beta ∣∣(Hu)τ​∣∣L​≤γ(∣∣u∣∣L​)+β成立，则映射 L e m → L e q \mathcal{L}^m_e \rightarrow \mathcal{L}^q_e Lem​→Leq​为小信号$\mathcal{L}$稳定的（或小信号有限增益$\mathcal{L}$稳定的）。

定理 5.1

考虑系统 x ˙ = f ( t , x , u ) , x ( 0 ) = x 0 , y = h ( t , x , u ) \dot{x}=f(t,x,u),x(0)=x_0,y=h(t,x,u) x˙=f(t,x,u),x(0)=x0​,y=h(t,x,u), 取 r > 0 , r u > 0 r>0, r_u>0 r>0,ru​>0, 使得 { ∥ x ∥ ⩽ r } ⊂ D , { ∥ u ∥ ⩽ r u } ⊂ D u \{\|x\| \leqslant r\} \subset D,\left\{\|u\| \leqslant r_u\right\} \subset D_u {∥x∥⩽r}⊂D,{∥u∥⩽ru​}⊂Du​ 。假设

• $x=0$ 是系统 x ˙ = f ( t , x , 0 ) \dot{x}=f(t,x,0) x˙=f(t,x,0)的指数稳定平衡点, 且存在李雅普诺夫函数 $V(t,x)$, 对所有 $(t,x)\in$ $[0,\infty )\times D$ 及正常数 c 1 , c 2 , c 3 c_1, c_2, c_3 c1​,c2​,c3​ 和 c 4 c_4 c4​, 满足
  c 1 ∥ x ∥ 2 ⩽ V ( t , x ) ⩽ c 2 ∥ x ∥ 2 ∂ V ∂ t + ∂ V ∂ x f ( t , x , 0 ) ⩽ − c 3 ∥ x ∥ 2 ∥ ∂ V ∂ x ∥ ⩽ c 4 ∥ x ∥ \begin{gathered} c_1\|x\|^2 \leqslant V(t, x) \leqslant c_2\|x\|^2 \\ \frac{\partial V}{\partial t}+\frac{\partial V}{\partial x} f(t, x, 0) \leqslant-c_3\|x\|^2 \\ \left\|\frac{\partial V}{\partial x}\right\| \leqslant c_4\|x\| \end{gathered} c1​∥x∥2⩽V(t,x)⩽c2​∥x∥2∂t∂V​+∂x∂V​f(t,x,0)⩽−c3​∥x∥2 ​∂x∂V​ ​⩽c4​∥x∥​
• 对于所有 ( t , x , u ) ∈ [ 0 , ∞ ) × D × D u (t, x, u) \in[0, \infty) \times D \times D_u (t,x,u)∈[0,∞)×D×Du​ 和非负常数 L , η 1 L, \eta_1 L,η1​ 和 η 2 , f \eta_2, f η2​,f 和 $h$ 满足不等式
  ∥ f ( t , x , u ) − f ( t , x , 0 ) ∥ ⩽ L ∥ u ∥ ∥ h ( t , x , u ) ∥ ⩽ η 1 ∥ x ∥ + η 2 ∥ u ∥ \begin{gathered} \|f(t, x, u)-f(t, x, 0)\| \leqslant L\|u\| \\ \|h(t, x, u)\| \leqslant \eta_1\|x\|+\eta_2\|u\| \end{gathered} ∥f(t,x,u)−f(t,x,0)∥⩽L∥u∥∥h(t,x,u)∥⩽η1​∥x∥+η2​∥u∥​
  则对满足 ∥ x 0 ∥ ⩽ r c 1 / c 2 \left\|x_0\right\| \leqslant r \sqrt{c_1 / c_2} ∥x0​∥⩽rc1​/c2​ ​ 的每个 x 0 x_0 x0​, 系统 x ˙ = f ( t , x , u ) , x ( 0 ) = x 0 , y = h ( t , x , u ) \dot{x}=f(t,x,u),x(0)=x_0,y=h(t,x,u) x˙=f(t,x,u),x(0)=x0​,y=h(t,x,u)是小信号有限增益 L p \mathcal{L}_p Lp​ 稳定的, $p\in [1,\infty ]$ 。特别地, 当每个 u ∈ L p e u \in \mathcal{L}_{p e} u∈Lpe​ 满足 sup ⁡ 0 ⩽ t ⩽ τ ∥ u ( t ) ∥ ⩽ min ⁡ { r u , c 1 c 3 r / ( c 2 c 4 L ) } \sup _{0 \leqslant t \leqslant \tau}\|u(t)\| \leqslant \min \left\{r_u, c_1 c_3 r /\left(c_2 c_4 L\right)\right\} sup0⩽t⩽τ​∥u(t)∥⩽min{ru​,c1​c3​r/(c2​c4​L)} 时, 对于所有 $\tau \in [0,\infty )$, 输出 $y(t)$ 满足
  其中 γ = η 2 + η 1 c 2 c 4 L c 1 c 3 , β = η 1 ∥ x 0 ∥ c 2 c 1 ρ , \gamma=\eta_2+\frac{\eta_1 c_2 c_4 L}{c_1 c_3}, \quad \beta=\eta_1\left\|x_0\right\| \sqrt{\frac{c_2}{c_1}} \rho, \quad γ=η2​+c1​c3​η1​c2​c4​L​,β=η1​∥x0​∥c1​c2​​ ​ρ, 其中 ρ = { 1 , p = ∞ ( 2 c 2 c 3 p ) 1 / p , p ∈ [ 1 , ∞ ) \rho= \begin{cases}1, & p=\infty \\ \left(\frac{2 c_2}{c_3 p}\right)^{1 / p}, & p \in[1, \infty)\end{cases} ρ=⎩ ⎨ ⎧​1,(c3​p2c2​​)1/p,​p=∞p∈[1,∞)​
  此外, 如果原点是全局指数稳定的, 且所有假设都全局成立 ( D = R n , D u = R m ) \left(D=R^n, D_u=R^m\right) (D=Rn,Du​=Rm), 则对每个 x 0 ∈ R n x_0 \in R^n x0​∈Rn, 系统 x ˙ = f ( t , x , u ) , x ( 0 ) = x 0 , y = h ( t , x , u ) \dot{x}=f(t,x,u),x(0)=x_0,y=h(t,x,u) x˙=f(t,x,u),x(0)=x0​,y=h(t,x,u) 为有限增益 L p \mathcal{L}_p Lp​ 稳定的, $p\in [1,\infty ]$ 。

推论 5.1

假设在 $(x=0,u=0)$ 的某个邻域内, 函数 $f(t,x,u)$ 连续可微, 雅可比矩阵 $[\partial f/\partial x]$ 和 [ $\partial f/\partial u]$ 有界, 对 $t$ 一致, 且 $h(t,x,u)$ 满足式 (5.10)。如果原点 $x=0$ 是系统(5.5) 的指数 稳定平衡点, 则存在常数 r 0 > 0 r_0>0 r0​>0, 使得对于每个满足 ∥ x 0 ∥ < r 0 \left\|x_0\right\|∥x0​∥<r0​ 的 x 0 x_0 x0​, 系统 (5.3) (5.4) 是小信号有限增益 L p \mathcal{L}_p Lp​ 稳定的, $p\in [1,\infty ]$ 。进一步, 如果所有假设全局成立, 且原点 $x=0$ 是系统 (5.5) 的指数稳定平衡点, 则对每个 x 0 ∈ R n x_0 \in R^n x0​∈Rn, 系统 (5.3) $\sim (5.4)$ 为有限增益 L p \mathcal{L}_p Lp​ 稳定的, $p\in [1,\infty ]$ 。
对于线性时不变系统
x ˙ = A x + B u , y = C x + D u \begin{aligned} \dot{x} & =A x+B u, \\ y & =C x+D u \end{aligned} x˙y​=Ax+Bu,=Cx+Du​
定理 5.1 的全局稳定性条件与 $A$ 为赫尔维茨矩阵的条件是等价的。因此对线性系统有如下 结论。

推论 5.2

如果 $A$ 是赫尔维茨矩阵, 则线性时不变系统 $(5.14)\sim (5.15)$ 是有限增益 L p \mathcal{L}_p Lp​ 稳定 的, $p\in [1,\infty ]$ 。而且当
γ = ∥ D ∥ 2 + 2 λ max ⁡ 2 ( P ) ∥ B ∥ 2 ∥ C ∥ 2 λ min ⁡ ( P ) , β = ρ ∥ C ∥ 2 ∥ x 0 ∥ λ max ⁡ ( P ) λ min ⁡ ( P ) \gamma=\|D\|_2+\frac{2 \lambda_{\max }^2(P)\|B\|_2\|C\|_2}{\lambda_{\min }(P)}, \quad \beta=\rho\|C\|_2\left\|x_0\right\| \sqrt{\frac{\lambda_{\max }(P)}{\lambda_{\min }(P)}} γ=∥D∥2​+λmin​(P)2λmax2​(P)∥B∥2​∥C∥2​​,β=ρ∥C∥2​∥x0​∥λmin​(P)λmax​(P)​ ​
时,式(5.11)成立。其中
ρ = { 1 , p = ∞ ( 2 λ max ⁡ ( P ) p ) 1 / p , p ∈ [ 1 , ∞ ) \rho= \begin{cases}1, & p=\infty \\ \left(\frac{2 \lambda_{\max }(P)}{p}\right)^{1 / p}, & p \in[1, \infty)\end{cases} ρ=⎩ ⎨ ⎧​1,(p2λmax​(P)​)1/p,​p=∞p∈[1,∞)​
$P$ 是李雅普诺夫方程 P A + A T P = − I P A+A^{\mathrm{T}} P=-I PA+ATP=−I 的解。

定理 5.2

考虑系统 $(5.3)\sim (5.4)$, 取 $r>0$, 使得 { ∥ x ∥ ⩽ r } ⊂ D \{\|x\| \leqslant r\} \subset D {∥x∥⩽r}⊂D 。假设

• $x=0$ 是系统 $(5.5)$ 的一致渐近稳定平衡点, 且存在李雅普诺夫函数 $V(t,x)$, 对于所有 $(t,x)\in [0,\infty )\times D$ 和 $\mathcal{K}$ 类函数 α 1 \alpha_1 α1​ 到 α 4 \alpha_4 α4​, 满足
  α 1 ( ∥ x ∥ ) ⩽ V ( t , x ) ⩽ α 2 ( ∥ x ∥ ) ∂ V ∂ t + ∂ V ∂ x f ( t , x , 0 ) ⩽ − α 3 ( ∥ x ∥ ) ∥ ∂ V ∂ x ∥ ⩽ α 4 ( ∥ x ∥ ) \begin{gathered} \alpha_1(\|x\|) \leqslant V(t, x) \leqslant \alpha_2(\|x\|) \\ \frac{\partial V}{\partial t}+\frac{\partial V}{\partial x} f(t, x, 0) \leqslant-\alpha_3(\|x\|) \\ \left\|\frac{\partial V}{\partial x}\right\| \leqslant \alpha_4(\|x\|) \end{gathered} α1​(∥x∥)⩽V(t,x)⩽α2​(∥x∥)∂t∂V​+∂x∂V​f(t,x,0)⩽−α3​(∥x∥) ​∂x∂V​ ​⩽α4​(∥x∥)​
• 对于所有 ( t , x , u ) ∈ [ 0 , ∞ ) × D × D u , K (t, x, u) \in[0, \infty) \times D \times D_u, \mathcal{K} (t,x,u)∈[0,∞)×D×Du​,K 类函数 α 5 \alpha_5 α5​ 到 α 7 \alpha_7 α7​ 和非负常数 $\eta ,f$ 和 $h$ 满足不等式
  ∥ f ( t , x , u ) − f ( t , x , 0 ) ∥ ⩽ α 5 ( ∥ u ∥ ) ∥ h ( t , x , u ) ∥ ⩽ α 6 ( ∥ x ∥ ) + α 7 ( ∥ u ∥ ) + η \begin{gathered} \|f(t, x, u)-f(t, x, 0)\| \leqslant \alpha_5(\|u\|) \\ \|h(t, x, u)\| \leqslant \alpha_6(\|x\|)+\alpha_7(\|u\|)+\eta \end{gathered} ∥f(t,x,u)−f(t,x,0)∥⩽α5​(∥u∥)∥h(t,x,u)∥⩽α6​(∥x∥)+α7​(∥u∥)+η​
  则对于每个满足 ∥ x 0 ∥ ⩽ α 2 − 1 ( α 1 ( r ) ) \left\|x_0\right\| \leqslant \alpha_2^{-1}\left(\alpha_1(r)\right) ∥x0​∥⩽α2−1​(α1​(r)) 的 x 0 x_0 x0​, 系统 $(5.3)\sim (5.4)$ 是小信号 L ∞ \mathcal{L}_{\infty} L∞​ 稳定的。

推论 5.3

假设在 $(x=0,u=0)$ 的某个邻域内, 函数 $f(t,x,u)$ 连续可微, 雅可比矩阵 $[\partial f/\partial x]$ 和 $[\partial f/\partial u]$ 有界, 对 $t$ 一致, 且 $h(t,x,u)$ 满足式 (5.20)。如果无激励系统 (5.5) 在原点 $x=0$ 有一致渐近稳定的平衡点, 则系统 (5.3) $\sim (5.4)$ 是小信号 L ∞ \mathcal{L}_{\infty} L∞​ 稳定的。
为推广定理 5.2 的证明以证明 L ∞ \mathcal{L}_{\infty} L∞​ 稳定性, 需要证明对任意初始状态 x 0 ∈ R n x_0 \in R^n x0​∈Rn 和任意有界输入, 式 (5.21) 成立。如 4.9 节所述, 当定理 5.2 全局满足时, 甚至当系统 (5.5) 的原点全局 一致渐近稳定时, 此不等式也不能自行成立。但它仍遵循系统 (5.3) 的输人-状态稳定性, 可 由定理 4.19 验证。

定理 5.3

考虑系统 (5.3) ( 5.4 ) , D = R n , D u = R m ~(5.4), D=R^n, D_u=R^m  (5.4),D=Rn,Du​=Rm 。假设

• 系统 (5.3) 是输入-状态稳定的。
• 对于所有 ( t , x , u ) ∈ [ 0 , ∞ ) × R n × R m , K (t, x, u) \in[0, \infty) \times R^n \times R^m, \mathcal{K} (t,x,u)∈[0,∞)×Rn×Rm,K 类函数 α 1 \alpha_1 α1​ 和 α 2 \alpha_2 α2​ 以及非负常数 $\eta ,h$ 满足不等式
  ∥ h ( t , x , u ) ∥ ⩽ α 1 ( ∥ x ∥ ) + α 2 ( ∥ u ∥ ) + η \|h(t, x, u)\| \leqslant \alpha_1(\|x\|)+\alpha_2(\|u\|)+\eta ∥h(t,x,u)∥⩽α1​(∥x∥)+α2​(∥u∥)+η
  则对每个 x 0 ∈ R n x_0 \in R^n x0​∈Rn, 系统 $(5.3)\sim (5.4)$ 是 L ∞ \mathcal{L}_{\infty} L∞​ 稳定的。

L 2 \mathcal{L}_2 L2​增益

定理 5.4

考虑线性时不变系统
x ˙ = A x + B u y = C x + D u \begin{aligned} \dot{x} & =A x+B u \\ y & =C x+D u \end{aligned} x˙y​=Ax+Bu=Cx+Du​
其中 $A$ 为赫尔维茨矩阵。设 G ( s ) = C ( s I − A ) − 1 B + D G(s)=C(s I-A)^{-1} B+D G(s)=C(sI−A)−1B+D, 则系统的 L 2 \mathcal{L}_2 L2​ 增益为 sup ⁡ ω ∈ R \sup _{\omega \in R} supω∈R​ ∥ G ( j ω ) ∥ 2 ( 3 ) \|G(j \omega)\|_2{ }^{(3)} ∥G(jω)∥2​(3) 。

定理 5.5

考虑非线性时不变系统
x ˙ = f ( x ) + G ( x ) u , x ( 0 ) = x 0 y = h ( x ) \begin{aligned} \dot{x} & =f(x)+G(x) u, \quad x(0)=x_0 \\ y & =h(x) \end{aligned} x˙y​=f(x)+G(x)u,x(0)=x0​=h(x)​
其中 $f(x)$ 和 $G(x)$ 是局部利普希茨的, $h(x)$ 在 R n R^n Rn 上连续。 $G$ 为 $n\times m$ 矩阵, h : R n → R q h: R^n \rightarrow R^q h:Rn→Rq 。函 数 $f$ 和 $h$ 在原点为零, 即 $f(0)=0,h(0)=0$ 。设 $\gamma$ 为正数, 并假设对于所有 x ∈ R n x \in R^n x∈Rn, 存在一 个连续可微的半正定函数 $V(x)$, 满足不等式
H ( V , f , G , h , γ ) = def  ∂ V ∂ x f ( x ) + 1 2 γ 2 ∂ V ∂ x G ( x ) G T ( x ) ( ∂ V ∂ x ) T + 1 2 h T ( x ) h ( x ) ⩽ 0 \mathcal{H}(V, f, G, h, \gamma) \stackrel{\text { def }}{=} \frac{\partial V}{\partial x} f(x)+\frac{1}{2 \gamma^2} \frac{\partial V}{\partial x} G(x) G^{\mathrm{T}}(x)\left(\frac{\partial V}{\partial x}\right)^{\mathrm{T}}+\frac{1}{2} h^T(x) h(x) \leqslant 0 H(V,f,G,h,γ)= def ∂x∂V​f(x)+2γ21​∂x∂V​G(x)GT(x)(∂x∂V​)T+21​hT(x)h(x)⩽0
则对于每个 x 0 ∈ R n x_0 \in R^n x0​∈Rn, 系统 $(5.26)\sim (5.27)$ 为有限增益 L 2 \mathcal{L}_2 L2​ 稳定的, 且其 L 2 \mathcal{L}_2 L2​ 增益小于或等 于 γ ∘ \gamma_{\circ} γ∘​

推论 5.4

假设在包含原点的定义域 D ⊂ R n D \subset R^n D⊂Rn 内定理 5.5 的假设条件都成立, 则对任意 x 0 ∈ D x_0 \in D x0​∈D 和任意 u ∈ L 2 e u \in \mathcal{L}_{2 e} u∈L2e​, 方程 $(5.26)$ 的解对所有 $t\in [0,\tau ]$ 都满足 $x(t)\in D$, 则有
∥ y τ ∥ L 2 ⩽ γ ∥ u τ ∥ L 2 + 2 V ( x 0 ) \left\|y_\tau\right\|_{\mathcal{L}_2} \leqslant \gamma\left\|u_\tau\right\|_{\mathcal{L}_2}+\sqrt{2 V\left(x_0\right)} ∥yτ​∥L2​​⩽γ∥uτ​∥L2​​+2V(x0​) ​
当 ∥ x 0 ∥ \left\|x_0\right\| ∥x0​∥ 和 sup ⁡ 0 ⩽ t ⩽ τ ∥ u ( t ) ∥ \sup _{0 \leqslant t \leqslant \tau}\|u(t)\| sup0⩽t⩽τ​∥u(t)∥ 都充分小时, x ˙ = f ( x ) \dot{x}=f(x) x˙=f(x) 原点的渐近稳定性, 保证了方程 (5.26) 的解 $x(t)$ 保持在原点的某个邻域内。这一结果将在下面的引理中用于证明小信号 L 2 \mathcal{L}_2 L2​ 稳定性。

引理 5.1

假设定理 5.5 的假设条件在包含原点的定义域 D ⊂ R n D \subset R^n D⊂Rn 内成立, $f(x)$ 是连续可微的, 且 $x=0$ 是 x ˙ = f ( x ) \dot{x}=f(x) x˙=f(x) 的一个渐近稳定平衡点。那么存在 k 1 > 0 k_1>0 k1​>0, 使得对每个 x 0 ( ∥ x 0 ∥ ⩽ k 1 ) x_0\left(\left\|x_0\right\| \leqslant k_1\right) x0​(∥x0​∥⩽k1​), 系统 (5.26) (5.27) 是小信号有限增益 L 2 \mathcal{L}_2 L2​ 稳定的, 其 L 2 \mathcal{L}_2 L2​ 增益小于或等于 γ 。  \gamma_{\text {。 }} γ。 ​

引理 5.2

假设定理 5.5 的假设条件在包含原点的定义域 D ⊂ R n D \subset R^n D⊂Rn 内满足, $f(x)$ 是连续可微的, 且除了平凡解 $x(t)\equiv 0$ 外, 方程 x ˙ = f ( x ) \dot{x}=f(x) x˙=f(x) 在 S = { x ∈ D ∣ h ( x ) = 0 } S=\{x \in D \mid h(x)=0\} S={x∈D∣h(x)=0} 内没有解。则 x ˙ = f ( x ) \dot{x}=f(x) x˙=f(x) 的原点是渐近稳定的, 且存在 k 1 > 0 k_1>0 k1​>0, 使得对每个 x 0 , ∥ x 0 ∥ ⩽ k 1 x_0,\left\|x_0\right\| \leqslant k_1 x0​,∥x0​∥⩽k1​, 系统 (5.26) $\sim (5.27)$ 是 小信号有限增益 L 2 \mathcal{L}_2 L2​ 稳定的, 其 L 2 \mathcal{L}_2 L2​ 增益小于或等于 γ 。  \gamma_{\text {。 }} γ。 ​

小增益定理

定理5.6

再前面的假设条件下，如果 γ 1 γ 2 < 1 \gamma_1 \gamma_2 <1 γ1​γ2​<1，则反馈连接是有限增益$\mathcal{L}$稳定的。

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