集合及其运算

一、集合的概念

所谓集合，是指具有某种确定性质的“事物”的全体，可简称为集。将构成集合的一个个“事物”称为“元素”，也可简称为“元”。
有限集：一个集合含有有限多个元素。
单元素集：只含一个元素的集合。
空集：不含任何元素的集合。
无限集：不是有限集的集合称为无线集。
在理解集合概念时，要注意如下三点：
（1）一个集合的元素所具有的性质或满足的条件必须是明确的。
（2）集合中的各元的必须是彼此能够分辨的、互异的，因此，在用列举法表示集合时，其中的元素不能重复出现。
（3）集合中的元的没有先后次序之分。

二、集合的包含关系与子集

设A、B是任意集合
（1）若$\forall$x$\in$A$\Rightarrow$$\forall$x$\in$B，则称A含于B（或B包含A），记为A$\subset$B（或B$\supset$A）,并称A是B的子集。
（2）若A$\subset$B，且B$\supset$A，则称A与B相等，记为A=B，否则则记为A$\ne$B。
（3）若A$\subset$B，但A$\ne$B，则称A是B的真子集，记为A$⊊$B。
由定义可知，空集$\varnothing$是任何集合A的子集，即总有
$\varnothing \subset$A，此外，不难得出集合之间的包含关系“$\subset$”具有以下性质：
（1）自反性：A$\subset$A；
（2）传递性：若A$\subset$B，B$\subset$C，则A$\subset$C。
注意：并不是任何集合之间都具有包含关系。

三、集合的交、并、差运算

在研究某个问题时，所涉及的所有集合都是某个集合X的子集，于是我们将X称为基本集合，也可称为全集。

1、定义

定义1.2 设X是基本集合，A,B$\subset$X，
（1）A与B的交：A$\cap$B$\equiv${x|x$\in$A且x$\in$B}，即由A与B的公共元素构成的集合。
（2）A与B的并：A$\cup$B$\equiv${x|x$\in$A或x$\in$B}，即由A与B的所有元素构成的集合。
（3）A与B的差：A\B$\equiv${x|x$\in$A且x$\notin$B}，即由属于A而不属于B的元素构成的集合，也可记为A-B；称差X\A为集合A的余集或补集，记为Ac^cc。

2、性质

（1）A$\cap$B$\subset$A，A$\cap$B$\subset$B，A$\subset$A$\cup$B，B$\subset$A$\cup$B，A\B$\subset$A，A\B$\notin$B;
（2）A$\cap \varnothing$=$\varnothing$，A$\cup \varnothing$=A，A$\cap$X=A，A$\cup$X=X；
（3）A$\cap$Ac^cc=$\varnothing$，A$\cup$Ac^cc=X,，（AC^CC）C^CC=A，Xc^cc=$\varnothing$，∅c\varnothing^c∅c=X；
（4）A$\subset$B<=>AC⊃^C\supsetC⊃BC^CC;
（5）A\B=A$\cap$BC^CC;
（6）当A$\cap$B=$\varnothing$（即A与B不相交）时，A$\subset$BC^CC，B$\subset$AC^CC。

3、定理

设X是基本集合，A,B,C$\subset$X,则有
（1）幂等律：A$\cap$A=A，A$\cup$A=A；
（2）交换律：A$\cap$B=B$\cap$A，A$\cup$B=B$\cup$A；
（3）结合律：（A$\cap$B）$\cap$C=A$\cap$（B$\cap$C），（A$\cup$B）$\cup$C=A$\cup$（B$\cup$C）；
（4）分配律：A$\cap$（B$\cup$C）=（A$\cap$B）$\cup$（A$\cap$C），A$\cup$（B$\cap$C）=（A$\cup$B）$\cap$（A$\cup$C）;
（5）对偶律：（A$\cap$B）c^cc=Ac∪^c\cupc∪Bc^cc，（A$\cup$B）c^cc=Ac∩^c\capc∩Bc^cc;

四、集合的直积

1、定义

设A,B是任意集合，由所有有序对（a，b）构成的集合{（a，b）|a$\in$A,b$\in$B}称为A与B的直积，或笛卡尔乘积，记为A$\times$B，并将A与B分别称为A$\times$B的第一坐标集和第二坐标集。

2、性质

值积有如下性质：
（1）不满足交换律，即一般地A$\times$B$\ne$B$\times$A；
（2）满足结合律，即A$\times$（B$\times$C）= （A$\times$B）$\times$C
（3）A$\times \varnothing$=$\varnothing$，$\varnothing \times$A=$\varnothing$.

本文来自互联网用户投稿，文章观点仅代表作者本人，不代表本站立场，不承担相关法律责任。如若转载，请注明出处。 如若内容造成侵权/违法违规/事实不符，请点击【内容举报】进行投诉反馈！