数学 {逻辑,经典逻辑,三段论,形式系统,谓词逻辑,{逻辑推理, 演绎推理, 溯因推理, 归纳推理}}

{逻辑,经典逻辑,形式逻辑,符号逻辑,三段论,数理逻辑,真值,命题,重言式,合式公式,肯定前件}

定义

逻辑 Logic;

研究 有效的 推论和证明;

@DELI;

传统逻辑;

由亚里士多德创立, 后被谓词逻辑所替代;
. 断言有4种形式: (全称与特称),(肯定与否定), 两两组合 共4种, (所有A是B, 所有A不是B, 有些A是B, 有些A不是B);

@DELI;

真值 Truth/Logical Value;

要么为真, 要么为假;

@DELI;

命题Proposition;

命题是一个具有真值的陈述句 (比如1 + 1 = 3);

@DELI;

合式公式 (WFF: Well-Formed Formula 又称公式/有效公式);

在命题逻辑里, 命题变量与逻辑运算符的结合 构成公式;

@DELI;

重言式tautology;

永远为真的命题;

@DELI;

三段论;

属于传统逻辑里的知识, 给定3个命题A,B,C, 由AB一定可以推导出C;
. A为具有一般性原则的大前提, B为一个特殊陈述的小前提, C为结论; 通过将B应用到A上 可以到结论C; (即$(A,B)⊢C$);

样例;
命题A (大前提): 人都会死;
命题B (小前提): 王昌是人;
命题C (结论): 王昌会死;
. 用谓词逻辑的语法, $H(x)$表示: x是否是人, $D(x)$表示: x是否会死, $S(x)$表示: x是否是王昌;
. 命题A: $\forall x[H(x)⟹D(x)]$; 命题B: $\forall x[S(x)⟹H(x)]$; 命题C: $\forall x[S(x)⟹D(x)]$;
. $[(A⟹B),(B⟹C)]⊢(A⟹C)$;

@DELI;

经典逻辑 Classical Logic;

也称为标准逻辑Standard Logic, 是最广泛使用的, 属于演绎推理逻辑, 是近代才有的; 传统逻辑 可在经典逻辑里 被表述为一个特例;
包含4个基本公理:
. 同一律the law of identity: 任何对象等于自身($x=x$为重言式);
. 排中律the law of excluded middle: 任何命题与其否定命题 一定有1个为真 ($P\vee \neg P$为重言式);
. 无矛盾律the law of non-contradiction: 任何命题与其否定命题 不能同时为真 ($\neg (P\wedge \neg P)$为重言式);
. 充足理由律the law of sufficient reason: {先验的,不能证明的}公理 (比如命题A为真, 要有充分的理由 说明A为什么为真);

分类:
. 三段论(传统逻辑);
. 布尔逻辑;
. 命题逻辑;
. 一阶逻辑(谓词逻辑);

@DELI;

符号逻辑;

将形式 抽象为符号;
. 通常{形式逻辑, 符号逻辑}是同义词, 只是形式逻辑比较古老 几千年前就有, 而符号逻辑是近些年才有的;
. 符号逻辑分为2类: {命题逻辑, 谓词逻辑};

@DELI;

数理逻辑;

是符号逻辑的扩展, 是对{模型论, 证明论, 集合论, 递归论}的研究;

@DELI;

肯定前件;

通过2个前提(前提1: $A\to B$, 前提2: $A$为真) 得到结论: $B$为真;

有点类似三段论, 比如: 前提1: (如果今天是周末 交通会很拥挤) 前提2: (今天是周末), 得到结论 (交通会很拥挤);

性质

逻辑的分类: {形式逻辑, 非形式逻辑};

@DELI;

逻辑推理的分类: {归纳推理, 溯因推理, 演绎推理};
. 科学方法都属于归纳推理, 是没有必然性的; 而数学则属于演绎推理;

@DELI;

在数学中, 逻辑分为{形式逻辑, 数理逻辑};
. 形式逻辑: 研究某个形式语言里的 有效的推论;
. 数理逻辑: 研究抽象的逻辑关系;

@DELI;

{形式,形式系统,形式逻辑}

定义

形式;

Form 即柏拉图理型 (是事物的本质);

@DELI;

形式系统 Formal System;

形式系统由4部分组成:
. 一个符号的集合;
. 语法: 如何将一堆符号建构成一个有效的公式Well-Formed Formula);
. 一个公理(公设)的集合;
. 一个推理规则的集合;

命题逻辑是一个形式系统;

@DELI;

形式逻辑;

对逻辑推导的*{抽象的, 纯形式的}*研究;

形式逻辑分为2类: {符号逻辑, 三段论};

{谓词,谓词逻辑}

定义

谓词 predicate;

在语言学中, 他表示对象subject (在语言学中, 称为*客体*)的属性 (性质), 或者多个对象间的关系; 谓词一定包含一个动词verb;
. 一元谓词 (对象的属性): 比如She is in the park (她正在公园)中, 在公园就是她的属性 (动词为在); 比如他喜欢玩游戏中 喜欢玩游戏就是他的属性 (动词是喜欢);
. 二元谓词 (对象的关系): x < y中 <小于号就是个谓词;

在计算机语言中, 他是一个布尔函数 即返回{真/假};
. P(x)表示x是否具有某种属性 (即一元关系); P(x, y)表示x,y是否具有某种二元关系;

@DELI;

谓词逻辑 Predicate Logic;

是符号形式系统的通用术语, 比如一阶逻辑, 二阶逻辑 都可以称之为谓词逻辑;

@DELI;

性质

@DELI;

{逻辑推理, 演绎推理, 溯因推理, 归纳推理}

定义

逻辑推理;

有3种方式: {演绎, 归纳, 溯因};
模型: {前提, 规则, 结论};
. 演绎推理是: 根据(前提,规则), 来得到结论;
. 溯因推理是: 根据(规则,结论), 来得到前提;
. 归纳推理是: 根据(前提,结论), 来得到规则;

@DELI;

演绎推理Deductive Reasoning;

又称正向推理;
研究根据已知前提, 一定可以推导出哪些结论; (即如果前提为真, 则结论必然为真);
. 这一点有别于*{溯因推理, 归纳推理}, 他们是从前提 预测出 高概率的结论 但不能保证结论一定*为真;

@DELI;

溯因推理Abductive Reasoning;

又称反向推理;
根据已知结论(事实), 推导(预测)其原因;
. 应用: 人工智能中 自动检测故障原因;

@DELI;

归纳推理 Inductive Reasoning;

根据前提A, 得到结论B; (但结论B不一定是正确的, 只是A符合结论);
. 比如: 前提(我看到的鸟都是灰色的) $⟹$ 结论(所有鸟都是灰色的);

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