参数连续性与几何连续性的区别

曲线间连接的光滑度的度量：

• 参数连续性：组合参数曲线在连接处具有直到n阶连续导矢，即n阶连续可微，称为n阶参数连续性 C n C^n Cn
• 几何连续性：组合曲线在连接处满足不同于 C n C^n Cn的某一组约束条件，称为具有n阶几何连续性 G n G^n Gn。

对于参数$t\in [0,1]$的两条曲线P(t)和Q(t)

• 若要求在结合处达到 C 0 C^0 C0连续或 G 0 G^0 G0连续，即两曲线在结合处位置连续：$P(1)=Q(0)$

• 若要求在结合处达到 G 1 G^1 G1连续，就是说两条曲线在结合处在满足 G 0 G^0 G0连续的条件下，并有公共的切矢： Q ′ ( 0 ) = α P ′ ( 1 ) ( α > 0 ) Q'(0)=\alpha P'(1) \ \ \ (\alpha>0) Q′(0)=αP′(1)   (α>0)

  • 当a＝1时， G 1 G^1 G1连续就成为 C 1 C^1 C1连续
    • 若P 和Q 在连接处已有 C 0 , C 1 C^0,C^1 C0,C1连续性且曲率的大小和方向均相等，即 P ′ ′ ( 1 ) = Q ′ ′ ( 0 ) P''(1)=Q''(0) P′′(1)=Q′′(0)则P 和Q 在连接处具有 C 2 C^2 C2连续
    • 若P 和Q 在连接处已有 C 0 , C 1 C^0,C^1 C0,C1连续性且曲率的大小不相等但方向相等，则P 和Q 在连接处具有 G 2 G^2 G2连续。

• 若要求在结合处达到 G 2 G^2 G2连续，就是说两条曲线在结合处在满足 G 1 G^1 G1连续的条件下，并有公共的曲率矢：

  

  • 这个关系可写为： Q ′ ′ ( 0 ) = α 2 P ′ ′ ( 1 ) + β P ′ ( 1 ) Q''(0)=\alpha^2P''(1)+\beta P'(1) Q′′(0)=α2P′′(1)+βP′(1)
  • $\beta$为任意常数，当$\alpha =1,\beta =0$时， G 2 G^2 G2连续就成为 C 2 C^2 C2连续

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