有限元中三角形的一些积分公式

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有限元中三角形的相关积分公式

在 $xy$ 平面中， 通过三个点 ( x i , y i ) , ( x j , y j ) , ( x m , y m ) (x_i, y_i), (x_j, y_j), (x_m, y_m) (xi​,yi​),(xj​,yj​),(xm​,ym​) 定义一个三角形， 令坐标原点位于其中心(或者重心)，即
x i + x j + x m 3 = y i + y j + y m 3 = 0 \frac{x_i + x_j + x_m}{3} = \frac{y_i + y_j + y_m}{3} = 0 3xi​+xj​+xm​​=3yi​+yj​+ym​​=0
针对整个三角形区域的一些重要积分公式有：

∫ d x d y = 1 2 ∣ 1 x i y i 1 x j y j 1 x m y m ∣ = Δ = 三角形面积 \int dxdy = \frac{1}{2} \begin{vmatrix} 1 & x_i & y_i \\ 1 & x_j & y_j \\ 1 & x_m & y_m \end{vmatrix} = \Delta = 三角形面积 ∫dxdy=21​ ​111​xi​xj​xm​​yi​yj​ym​​ ​=Δ=三角形面积

$$\int xdxdy=\int ydxdy=0$$

∫ x 2 d x d y = Δ 12 ( x i 2 + x j 2 + x m 2 ) \int x^2 dxdy = \frac{\Delta}{12}(x_i^2 + x_j^2 + x_m^2) ∫x2dxdy=12Δ​(xi2​+xj2​+xm2​)

∫ y 2 d x d y = Δ 12 ( y i 2 + y j 2 + y m 2 ) \int y^2 dxdy = \frac{\Delta}{12}(y_i^2 + y_j^2 + y_m^2) ∫y2dxdy=12Δ​(yi2​+yj2​+ym2​)

∫ x y d x d y = Δ 12 ( x i y i + x j y j + x m y m ) \int xy dxdy = \frac{\Delta}{12}(x_iy_i + x_jy_j + x_my_m) ∫xydxdy=12Δ​(xi​yi​+xj​yj​+xm​ym​)

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