向量求导规则--最小二乘法求解最优解

1. 向量求导规则

此部分主要是对Matrix Differentiation的转载。

2.1. 导数定义（一阶导数）

设$\vec{y} = \phi (\vec{x})$，其中$\vec y$和$\vec x$均为向量。
定义

特别地，如果$y$是标量，则有$\frac{\partial y}{\partial \vec x}$为$1\times n$的行向量；如果$x$是标量，则有$\frac{\partial \vec y}{\partial x}$为$m\times 1$的列向量。

2.2. 导数规则

1. $\vec y =A\vec x$，其中$A$与$\vec x$和$\vec y$无关，则有$\frac{\partial \vec y}{\partial \vec x} = A$
   证明：$y_i = \sum_j a_{ij}x_j \Rightarrow \frac{\partial y_i}{\partial x_j} = a_{ij}$
2. $\vec y =A\vec x$，其中$A$与$\vec x, \vec z$和$\vec y$无关，则有$\frac{\partial \vec y}{\partial \vec z} = A\frac{\partial \vec x}{\partial \vec z}$
   证明：$y_i = \sum_j a_{ij}x_j \Rightarrow \frac{\partial y_i}{\partial z_k} = \sum_j a_{ij}\frac{\partial \vec x_j}{\partial \vec z_k}$
3. $\alpha = \vec y^TA\vec x$，其中$A$与$\vec x$和$\vec y$无关，则有$\frac{\partial \alpha}{\partial \vec x} = \vec y^TA$，而$\frac{\partial \alpha}{\partial \vec y} = \vec x^TA^T$。
   证明：$\alpha = (\vec y^T A)\vec x = A'\vec x\Rightarrow \frac{\partial \alpha}{\partial \vec x} = A' = \vec y^T A$
   同理，$\alpha^T = (\vec x^TA^T)\vec y = A''\vec y\Rightarrow \frac{\partial \alpha}{\partial \vec y} = A'' = \vec x^TA^T$
4. $\alpha = \vec x^TA\vec x$，其中$A$与$\vec x$无关，则有$\frac{\partial \alpha}{\partial \vec x} = \vec x^T(A^T+A)$。
   证明：$\alpha = \sum_i\sum_ja_{ij}x_ix_j\Rightarrow \frac{\partial \alpha}{x_i} = \sum_ja_{ij}x_j+\sum_ja_{ji}x_j\Rightarrow \vec x^TA+\vec x^TA^T = \vec x^T(A^T+A)$
5. $\alpha = \vec y^T\vec x$，则有$\frac{\partial \alpha}{\partial \vec z} = \vec y^T\frac{\partial \vec x}{\partial \vec z} + \vec x^T\frac{\partial \vec y}{\partial \vec z}$。
   证明：$\alpha = \sum_i x_iy_i\Rightarrow\frac{\partial \alpha}{\partial z_j} = \sum_i(x_i\frac{\partial y_i}{\partial z_j} + y_i\frac{\partial x_i}{\partial z_j})$
6. $\alpha = \vec x^T\vec x$，则有$\frac{\partial \alpha}{\partial\vec z} = 2x^T\frac{\partial \vec x}{\partial \vec z}$

之后的就不一一列举了，基本就是chain rule的应用，例如$\alpha = \vec y^TA\vec x \Rightarrow \frac{\partial \alpha}{\partial \vec z} = \frac{\partial \alpha}{\partial \vec x}\frac{\partial \vec x}{\partial \vec y}+\frac{\partial \alpha}{\partial \vec y}\frac{\partial \vec y}{\partial \vec z} = \vec y^T A\frac{\partial \vec x}{\partial \vec z} + \vec x^TA^T\frac{\partial \vec y}{\partial \vec z}$

2. 一个应用例子：最小二乘法的最优解

Least Square是二分类问题的经典分类器。
具体地，输入$X$，输出$Y$，其中$Y\in\{0,1\}$，预测输出$\hat y = \beta_0+\sum_ix_i\beta_i$。对于$\hat y \ge 0.5$预测输出1，若$\hat y < 0.5$预测输出0。
不同的参数$\beta$对应于不同的超平面，如何评价最佳的分类超平面取决于不同的分类器。
Least Square寻找最小化残差平方和最小的超平面。定义$RSS(Y,X;\beta) = \sum_i(\hat y_i-y_i)^2 = \sum_i(x_i\beta-y_i)^2= (Y-X\beta)^T(Y-X\beta)$，最优分类超平面为$\text{argmin}_\beta(Y-X\beta)^T(Y-X\beta)$。
首先对$\beta$求导，$\frac{\partial RSS}{\partial \beta} = 2(Y-X\beta)^T\frac{\partial (Y-X\beta)}{\partial \beta} = 2(Y-X\beta)^T(\frac{\partial Y}{\partial \beta}-\frac{\partial X\beta}{\partial \beta}) = 2(Y-X\beta)^T(-X)$。令导数为零，有$\hat \beta = (X^TX)^{-1}X^TY$。

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